Гармонический осциллятор
Система, совершающая гармонические колебания, называется гармоническим осциллятором.
3.2.1. Пружинный, физический и математический маятники.
Рассмотрим в качестве гармонического осциллятора механическую систему с одной степенью свободы , совершающую малые колебания около положения равновесия без трения. Примерами такой системы являются пружинный, физический и математический маятники.
П р у ж и н н ы й м а я т н и к - груз массы m , подвешенный на невесомой абсолютно упругой пружине жесткостью k.
При подвешивании
груза пружина растянется на величину
,
определяемую соотношением mg
=k
,
вытекающим из условия равновесия
,
, по закону Гука.
При выведении
груза из положения равновесия (т. О на
оси х) на тело будет действовать сила
со стороны пружины
.
При описании
колебаний в механических системах
необходимо исходить из основного закона
механики
(второй закон
Ньютона), который для пружинного маятника
при отсутствии сил трения имеет вид
.
С учетом (3) и
равенства ускорения тела
второй производной смещения по времени
.
Вводя обозначение
,
уравнение движения тела можно записать
в виде
.
Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее гармонические колебания. Решением этого уравнения является функция
,
где
называется собственной частотой
гармонических колебаний пружинного
маятника в отсутствии потерь его энергии.
Период колебания
.
Ф и з и ч е с к и й м а я т н и к - твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через его центр масс. В отсутствии сил трения в подвесе маятника вращательный момент относительно оси качения (т. О) создает только сила тяжести
,
где
-
расстояние от оси качения до центра
масс маятника (т. С) ,
-
угол поворота маятника от положения
равновесия. Согласно основному закону
динамики вращательного движения
уравнение движения физического маятника
имеет вид
,
где
-
момент инерции маятника относительно
оси качания, а
- угловое ускорение, направление которого
противоположно направлению момента
силы тяжести, о чем говорит знак минус
в скалярной записи уравнения движения.
При малых
(радиан). Тогда
.
Вводя обозначение
, уравнение движения можно записать в
виде
,
решением которого является
,
где
-
амплитуда колебаний угла
,а
и
- собственные частота и период гармонических
колебаний физического маятника.
М а т е м а т и ч
е с к и й м а я т н и к
- материальная
точка, подвешенная на невесомой
нерастяжимой нити и совершающая колебания
в вертикальной плоскости под действием
силы тяжести. Математический маятник
представляет собой предельный случай
физического маятника, вся масса которого
сосредоточена в его центре масс, поэтому
момент инерции математического маятника
.
Соответственно собственные частота и
период гармонических колебаний
математического маятника равны
,
.