Механические колебания и волны
КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
К о л е б а н и я - движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени, например: колебания маятника часов, переменный электрический ток, колебания молекул в твердом теле, пульсация излучения звезд и так далее.
Во всех колебательных процессах происходит взаимное превращение одного вида энергии в другой, например, в механических колебательных системах кинетическая энергия переходит в потенциальную и обратно, а в электромагнитных - энергия электрического поля переходит в энергию магнитного поля и обратно. Характерной чертой колебательных систем является также наличие устойчивого положения равновесия.
К простейшим периодическим колебаниям относятся г а р м о н и ч е с к и е к о л е б а н и я, в которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний особенно важен по следующим причинам : во-первых, колебания в природе и в технике часто имеют характер ,очень близкий к гармоническим, и, во-вторых ,любой периодический процесс можно представить в виде суммы гармонических колебаний.
Гармонические колебания.
Если в системе совершаются гармонические колебания, то колеблющаяся физическая величина х изменяется со временем по закону
,
(2)
где А- амплитуда колебания, равная наибольшему абсолютному значению отклонения х от положения равновесия;
-
фаза колебания, являющаяся угловой
мерой времени, прошедшего от начала
колебаний ,и определяющая значение х в
данный момент времени;
-
начальная фаза, равная фазе в момент
начала отсчета времени t
=0;
-
циклическая частота, имеющая смысл
скорости изменения фазы колебания.
Выражение (2) для гармонических колебаний можно представить в эквивалентной форме
.
Если за время t
система совершила N
колебаний, то время одного колебания -
период
,
число колебаний, совершенных за единицу
времени - частота
.
Циклическая частота
.
Различные формы представления гармонических колебаний:
а)Метод векторных диаграмм
Гармонические колебания можно изобразить графически с помощью вращающегося вектора на плоскости (рис.2).
Для этого из
начала координат проведем вектор
,
модуль которого равен амплитуде колебаний
А ,а сам он повернут относительно оси
координат ОХ на угол, равный фазе
колебаний
.
С течением времени вектор
будет равномерно вращаться вокруг точки
О против часовой стрелки с угловой
скоростью, равной циклической частоте
колебаний
, при этом проекции его на оси ОХ и ОУ
будут совершать гармонические колебания.
Метод векторных диаграмм используется
,например ,при сложении одинаково
направленных гармонических колебаний.
б)Комплексная форма
Пусть
,а
.
Составим комплексное
число Z=
x+iy
,тогда согласно формуле Эйлера
получим:
.
Если ввести
комплексную амплитуду
,то
.
(2а)
Поэтому гармоническое
колебание
, может быть записано как действительная
часть комплексного числа Z
, обозначаемая ReZ
:
.
Таким образом, можно проводить алгебраические преобразования не с синусами и косинусами ,а с экспонентами, что намного проще. Физический же смысл всегда будет иметь только действительная часть конечного выражения, полученного в результате математических операций с комплексными числами.