Основные законы алгебры логики

Закон	Для ИЛИ (v)	Для И (&)
Переместительный (коммутативный)	AvB=BvA	A&B=B&A
Сочетательный (ассоциативный)	(AvB)vC=Av(BvC)	(A&B)&C=A&(B&C)
Распределительный (дистрибутивный)	(AvB)&C=(A&C)v(B&C)	(A&B)vC=(AvC)&(BvC)
Общей инверсии (правило де Моргана)	_______ __ __ AvB=A&B	___ _ _ A&B=AvB
Идемпотентности	AvA=A	A&A=A
Исключения констант	Av1=1 и Av0=A	A&1=A и A&0=0
Противоречия		__ A&A=0
Исключения третьего	__ AvA=1
Поглощения	Av(A&B)=A	A&(AvB)=A
Склеивания (исключения)	_ (A&B)v(A&B)=B	_ (AvB)&(AvB)=B
Контрапозиции (правило перевертывания)	(A↔B)=(B↔A)
Двойного отрицания	= А = А

Под упрощением логической формулы, не содержащей операций импликации и эквиваленции, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая: либо содержит по сравнению с исходной меньшее число операций конъюнкции и дизъюнкции и не содержит отрицаний неэлементарных формул, либо содержит меньшее число вхождений переменных.

Задача 7: Упростить логическую формулу: (законы алгебры логики применяются в определенной последовательности) _________________

___

( А v В v С ) & А v В v С

Решение 7:

1. Согласно закону обшей инверсии для логического сложения (первому закону де Моргана) и закону двойного отрицания:

__________________

__ ___ ____

( А v В v С ) & А v В v С = ( А v В v С ) & ( А & В & С )

2. Согласно распределительному (дистрибутивному) закону для логического сложения:

___ ____ ____ ____ ____

( А v В v С ) & ( А & В & С ) = ( А & А ) v ( В & А ) v ( C & A ) v ( A & В ) v

_____ ____ _____

v ( B & В ) v ( C & B ) v ( А & С ) v ( В & С ) v ( С & С )

3. Согласно закону противоречия:

____ ____

( А & А) = 0; ( С & С) = 0;

4. Согласно закону идемпотентности:

( В & В ) = В

5. Подставляем значения и, используя переместительный (ком­мутативный) закон и группируя слагаемые, получаем:

___ ___ ____ ____

0 v ( А & В ) v ( А & В ) v В v ( С & В ) v ( С & В ) v ( С & А ) v ( А & С) v 0

6. Согласно закону исключения (склеивания):

___ ___

( А & В ) v ( А & В ) = В; ( С & В ) v ( С & В ) = В;

7. Подставляем значения и получаем:

___ ___

0 v В v В v В v ( С & А) v ( А & С) v 0

8. Согласно закону исключения констант для логического сложе­ния и закону идемпотентности:

0 v В v 0 v В v В = В

9. Подставляем значения и получаем:

___ ___

В v ( С & А ) v ( А & С )

10. Согласно распределительному (дистрибутивному) закону для логического умножения:

___ ___ ____ ___ ___ ___

( С & А ) v ( А & С ) = ( С v А ) & ( С v С ) & ( А v А ) & ( А v С )

11. Согласно закону исключения третьего:

___ ___

( C v С ) = 1; ( А v А) = 1;

12. Подставляем значения и окончательно получаем:

___ ___

В & А & С

Примеры: (в тексте вначале примера перечислена последовательность действий)

4. правило де Моргана, сочетательный закон, правило операций переменной с ее инверсией и правило операций с константами:

____ __ _ _ __ __ __ __ __ __ __

XvY•(X•Y)=X•Y•(X•Y)=X•X•Y•Y=0•Y•Y=0•Y=0

5. правило де Моргана, выносится за скобки общий множитель, используется правило операций переменной с ее инверсией:

__ _____ __ _ _ _ __ __

X•YvXvYvX=X•YvX•YvX=X•(YvY)vX=XvX=1

6. повторяется второй множитель, что разрешено законом идемпотентности, затем комбинируются 2 первых и 2 последних множителя и используется закон склеивания:

__ __ __ __ ___ __ ___ __

(XvY)•(XvY)•(XvY)=(XvY)•(XvY)•(XvY)•(XvY)=Y•X

_

7. вводится вспомогательный логический множитель YvY, затем комбинируются 2 крайних и 2 средних логических слагаемых и используются законы по­глощения и склеивания:

__ __ __ __ __ __ __ __

X•YvX•Y•ZvX•Z=X•YvX•Y•ZvX•Z•(YvY)=X•YvX•Y•ZvX•Y•ZvX•Y•Z=

___ ___ ___ ___

=(X•YvX•Y•Z)v(X•Y•ZvX•Y•Z)=X•YvY•Z

8. начала добиваются, чтобы знак отрицания стоял только перед отдельными переменными, а не перед их комбинациями, для этого дважды применяется правило де Моргана, затем используется закон двойного отрицания: _____ _

__ ______ __ __ __

X•YvZ=X•Y•Z=(XvY)•Z

9. выносятся за скобки общие множители, применяется правило операций с кон­стантами:

X•YvX•Y•ZvX•Z•P=X•(Y•(1vZ)vZ•P)=X•(YvZ•P)

10. к отрицаниям неэлементарных формул применяется правило де Моргана, ис­пользуются законы двойного отрицания и поглощения:

_______ ____________ __ ___ __

___ __ ___ __ __ ___ __ __ __ ___ ___ __

XvY•ZvXvYvZ=XvYvZvX•Y•Z=XvYvZvX•Y•Z=XvZv(YvX•Y•Z)=XvYvZ

11. общий множитель Х выносится за скобки, комбинируются слагаемые в

_______

скоб­ках — 1-е с 3-м и 2-е с 4-м, к дизъюнкции Y•ZvY•Z применяется правило операции переменной с ее инверсией:

___ __ ______ __ ___ _______ ___ ___ _______

X•YvX•Y•ZvX•Y•ZvX•Y•Z=X•(YvY•ZvY•ZvY•Z)=X•((YvY•Z)v(Y•ZvY•Z))=

___ ____

=X•(YvY•Zv1)=X•1=X

12. используются распределительный закон для дизъюнкции, правило операции переменной с ее инверсией, правило операций с константами, переместительный закон, распределительный закон для конъюнкции:

__ ___ __ ___ ___ ___ ___ ___ __ __ __ ___ ___

(X•YvZ)•(XvY)vZ=X•Y•XvX•Y•YvZ•XvZ•YvZ=0v0vZ•XvZ•YvZ=Z•Xv(ZvZ)•(YvZ)=

___ ___ ___ ___ ___ __ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___

=Z•Xv1•(YvZ)=Z•XvYvZ=(Z•XvZ)vY=(ZvZ)•(XvZ)vY=1•(XvY)vY=XvYvZ

13. используются правило де Моргана, закон двойного отрицания и закон погло­щения: ___ __________ ______

_______ __ _______ __

X•Y•(X•ZvX•Y•ZvZ•t)=X•Y•(X•ZvX•YvZvZ•t)=

___ ___ ___

=X•Y•(X•ZvX•YvZvZ•t)=X•YvX•Y•ZvX•Y•Z•t=X•Y

*****

_______

_______ __

14. решить уравнение: Х+А+Х+А=В

по закону Де Моргана:

___ _ _ _ _ = _ _ _

ХvА=А•В Х•АvХ•А=В Х•АvХ•А=В

_ _ _ _ _

Х•(АvА)=В АvА=1 Х=В Х=В

*****

Логический элемент компьютера — это часть электронной логической схе­мы, которая реализует элементарную логическую функцию. Обычно, у элементов от 2-х до 8-ми входов и 1 или 2 выхода. Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности.

Задача 8: Какое количество базовых логических элементов образуют оперативную память компьютера объемом 512 Мбайт?

Решение 8: Количество базовых логических элементов в триггере – 4. Количество бит в ячейке оперативной памяти – 8.

Отсюда: 4*8*512*1024*1024=17’179’869’184 элементов.

Задача 9: Какое количество базовых логических элементов необходимо для реализации 64-разрядного сумматора двоичных чисел?

Решение 9: Для построения одноразрядного сумматора двоичных чисел необходимо 9 базовых логических элементов.

Отсюда: 9*64=576 элементов.

2

ИНФОРМАТИКА(семестр1):практ/раб№3©РомановаЕВ