11.5 Понятия о неберущихся интегралах

Ранее было отмечено, что всякая функция f(x), непрерывная на отрезке (a,b). Интегрируема, то есть существует такая функция , что Однако не всегда первообразная, даже если она существует, выражается в конечном виде через элементарные функции. Можно сказать, что мы имеем дело с некоторыми новыми, незнакомыми нам, функциями. В этом случае подобные интегралы называются неберущимися.

Таковы, например, следующие интегралы:

, , , , ,

Особый интерес в математике и ее прикладных вопросах представляет интеграл (интеграл Гаусса). Позже будет показано, как вычисляются эти интегралы.

Лекция 12. Определенный интеграл. Понятие определенного интеграла. Определенный интеграл, как предел интегральной суммы.

Цель занятия:

- показать, что к понятию определенного интеграла приводит необходимость решения задач в различных отраслях науки, техники, экономики;

-получить формулу Ньютона – Лейбница для вычисления определенного интеграла;

-ввести понятие несобственного интеграла с бесконечными пределами.

Задача: четко представлять связь между определенными и неопределенным интегралами, их различие; помнить, что при использовании метода подстановки нужно изменять пределы интегрирования после введения новой переменной.

12.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла:

- задача о пути, пройденном точкой при неравномерном движении;

- задача о площади криволинейной трапеции;

- задача об объеме произведенной продукции.

12.2. Геометрический и экономический смысл определенного интеграла.

12.3. Несобственные интегралы с бесконечными пределами.

12.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Задачи о пути, пройденном точкой при неравномерном движении.

Пусть по прямой движется точка с переменной скоростью, для которой известен закон измерения V=v(t) Требуется найти путь S. Пройденный точкой за промежуток времени [0;T]. Если бы скорость была постоянной, то путь легко было бы найти по известной формуле S=VT. В данном случае этой формулой воспользоваться нельзя. Поступим следующим образом.

Разобьем отрезок времени [0;T]. Произвольно на достаточно малые промежутки точками:

Длительность каждого элементарного промежутка времени равна . Если достаточно малы, то с некоторой погрешностью скорость на каждом элементарном отрезке можно считать постоянной. Тогда путь, пройденный точкой за промежуток , , где и выбирается произвольно на этом отрезке (i=1, 2, … , n).

Весь путь , или

Чем меньше , тем меньше погрешность в каждом слагаемом При стремлении к нулю получаем (12.1)

Задача о площади криволинейной трапеции.

К

Рис. 12.1

риволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная кривой , прямыми x=a, x=b и осью абсцисс y=0.

На рис.10.1 аАВb - криволинейная трапеция. Требуется найти площадь S_аАВb . Разобьем отрезок произвольно на n элементарное отрезков точками . Длина каждого элементарного отрезка для i =1, 2, …, n. Из точек x_i восставим перпендикуляры до пересечения с прямой АВ. На кривой получим точки Криволинейная трапеция аАВb разбилась на n элементарных криволинейных трапеций (полосочек) с основаниями Обозначим площадь элементарной криволинейной трапеции . На отрезке выберем произвольную точку . Если достаточно малы, то с некоторой погрешностью можно площадь элементарной трапеции считать равной площади прямоугольника с основанием и высотой . То есть

В этом случае площадь криволинейной трапеции с некоторой погрешностью равна площади ступенчатой фигуры, состоящей из элементарных прямоугольников.

Погрешность тем меньше, чем больше n и чем меньше .

Очевидно

(12.2)

в) задача об объеме продукции, произведенный за некоторый промежуток времени.

Пусть функция y=f(t) Описывает производительность некоторого производства (человека, бригады, механизма, танка) в течение промежутка времени [0;T]. По аналогии с задачей а) разобьем промежуток времени [0;T] точками . На достаточно малые промежутки длительностью . В этом случае можно полагать, что объем произведенной продукции за этот промежуток ,где . Погрешность в равенстве тем меньше, чем меньше Тогда объем произведенной продукции:

Если , то

(12.3)

Анализ рассмотренных задач показывает, что различные по смысловому содержанию задачи абсолютно одинаковы по математической схеме. Поэтому есть смысл рассмотреть произвольную функцию y=f(x) на отрезке , используя выше приведенную схему.

1. разобьем отрезок произвольно на n элементарных отрезков точками .

2. На отрезке выберем произвольную точку, которой соответствует значение функции .

3.Составим произведения и найдем . Назовем эту сумму интегральной суммой для функции f(x) на отрезке . Очевидно эта интегральная сумма зависит как от способа разбиения точками , так и от выбора точек .

О пределение. Если существует конечный предел интегральной суммы при , не зависящий от способа выбор точек и , то он называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке , а функция f(x) называется интегрируемой на этом отрезке.

При этом вводится обозначение

f(x) - подынтегральная функция, выражение

f(x)dx - подынтегральное выражение

a и b - нижний и верхний предел соответственно.

Возвращаясь к рассмотренным выше задачам можно заметить, что путь, пройденный точкой за промежуток времени [0;T] . С переменной скоростью V=v(t) :

(12.4)

Площадь криволинейной трапеции

(12.5)

Объем произведенной продукции за промежуток [0;T] при изменяющей производительности Z=z(t)

(12.6)

Из (12.5) следует геометрический смысл определенного интеграла: он представляет собой площадь криволинейной трапеции при условии, что на отрезке . А из (12.6) вытекает экономический смысл определенного интеграла: если - производительность труда, то определенный интеграл представляет объем произведенной продукции за промежуток времени [0;T] .

Замечание. Следует иметь ввиду, что определенный и неопределенный интегралы существенно различаются. Если - представляет собой семейство функций (кривых), то определенный интеграл - есть некоторое число.