1.5. Поток вектора напряжённости электростатического поля
П
оместим
в электрическое поле бесконечно малую
площадку dS (рис.1,6).
Здесь
- единичный вектор нормали к площадке.
Вектор напряжённости электрического
поля
образует с нормалью
некоторый угол α.
Проекция вектора
на направление нормали равна En=E·cos
α .
Потоком вектора через бесконечно малую площадку называется скалярное произведение
,
(1.18)
или
.
(1.19)
Поток вектора напряжённости электрического поля является алгебраической величиной; его знак зависит то взаимной ориентации векторов и .
Поток вектора через произвольную поверхность S конечной величины определится интегралом:
.
(1.20)
Е
сли
поверхность замкнутая, интеграл отмечают
кружочком:
.
(1.21)
Для замкнутых поверхностей нормаль берется наружу (рис.1.7).
Поток вектора напряжённости имеет наглядный геометрический смысл: он численно равен числу линий вектора , проходящих через поверхность S.
1.6.Теорема Остроградского-Гаусса
Рассмотрим электростатическое поле, создаваемое положит точечным зарядом. Окружим заряд замкнутой поверхностью (рис.1.8). Поток вектора напряженности через замкнутую поверхность, охватывающую заряд, равен числу линий вектора , пересекающих поверхность, и не зависит от формы поверхности. Возьмем поверхность в виде сферы радиуса r и вычислим поток вектора .
. (1.22)
Так как
,
то во всех точках сферической поверхности
нормальные составляющие
одинаковы и равны
.
(1.23)
П
оток
вектора напряженности будет равен
. (1.24)
Подставляя выражение (1.23) в формулу (1.24) и производя сокращения, окончательно получим:
.
(1.25)
Поток вектора напряжённости сквозь произвольную замкнутую поверхность, охватывающую одиночный точечный заряд, равен отношению величины этого заряда к электрической постоянной.
Рассмотрим
электрическое поле, создаваемое системой
зарядов
.
Согласно принципу суперпозиции полей
напряжённость поля системы зарядов
равна
. (1.26)
Окружим эти заряды произвольной замкнутой поверхностью. Поток вектора напряжённости будет равен
(1.27)
Проинтегрируем почленно выражение (1.27), получим:
.
(1.28)
Здесь
- поток вектора напряжённости поля,
создаваемого зарядом
.
Он равен
.
(1.29)
Подставим выражение (1.29) в (1.28), получим:
.
(1.30)
Поток вектора напряжённости электростатического поля сквозь любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную. Это положение называется теоремой Остроградского-Гаусса для электростатического поля в вакууме.
1.7. Применение теоремы Остроградского-Гаусса к расчёту электростатических полей
В тех случаях, когда электрическое поле обладает симметрией, теорема Остроградского-Гаусса позволяет достаточно легко и просто рассчитывать напряжённость поля. Способ расчёта заключается в следующем.
Из соображений симметрии выбирается вспомогательная замкнутая поверхность так, чтобы поток сквозь нее можно было бы рассчитать наиболее просто.
Рассчитывается поток вектора напряженности.
Применяется формула (1.30).
Рассмотрим несколько случаев.