3.5. Классическая электронная теория металлов
Классическая электронная теория проводимости металлов или теория Друде-Лоренца обосновывает законы постоянного тока и объясняет существование электрического сопротивления.
Рассмотрим её основные положения.
В металлах носителями тока являются электроны проводимости.
Электроны проводимости рассматриваются как идеальный одноатомный газ, заполняющий пространство между узлами кристаллической решетки.
Движение электронов подчиняется законам классической механики Ньютона.
Пренебрегается взаимодействием электронов между собой.
Электроны при своем движении испытывают упругие столкновения с положительными ионами кристаллической решетки, в результате чего устанавливается тепловое равновесие.
Пусть υ – средняя скорость хаотического (теплового) движения электронов. Согласно статистике Максвелла-Больцмана средняя скорость теплового движения частиц идеального газа пропорциональна квадратному корню из его абсолютной температуры
υ
~
При включении электрического поля на хаотическое движение электронов накладывается их упорядоченное движение или дрейф. Cредняя скорость дрейфа электронов много меньше скорости их теплового движения (<u> << <υ>).
В промежутках между столкновениями электроны ускоряются электрическим полем, а при соударениях передают полученную энергию кристаллической решетке. После столкновения скорость дрейфа u=0.
Вывод закона Ома на основе электронной теории
Постановка задачи: необходимо получить выражение для плотности тока, возникающего в металле под действием электрического поля напряженностью E.
В качестве исходной возьмем формулу, связывающую плотность электрического тока со средней скорость дрейфа электронов:
j=ne<u>. (3.31)
Найдем среднюю скорость дрейфа <u>. Ускорение электрона в электрическом поле определится из второго закона Ньютона:
.
(3.32)
Обозначим λ - среднюю длину свободного пробега электронов между столкновениями; средний промежуток времени между столкновениями будет равен:
.
(3.33)
Максимальная скорость дрейфа
.
(3.34)
Средняя скорость дрейфа равна:
<u>=
.
(3.35)
Формула (3.35) позволяет получить выражение для подвижности носителей заряда:
.
(3.36)
Подставим выражение (3.35) в (3.31), получим:
.
(3.37)
Сравним полученное выражение с законом Ома в дифференциальной форме:
. (3.38)
Формулы (3.37) и (3.38) идентичны, если удельное электрическое сопротивление равно:
.
(3.39)
Таким образом, по электронной теории сопротивление металлов обусловлено потерями энергии при соударениях электронов с ионами кристаллической решетки.
Так как средняя скорость теплового движения электронов пропорциональна квадратному корню из абсолютной температуры
υ~ ,
то из формулы (3.39) следует, что удельное электрическое сопротивление также пропорционально квадратному корню из абсолютной температуры
ρ ~ .
Забегая вперед, отметим, что данный вывод не соответствует экспериментальным результатам.