3.2. Критерий устойчивости Гурвица

По этому критерию условия устойчивости сводятся к выполнению ряда неравенств, связывающих коэффициенты уравнения системы. Пусть характеристический полином САУ будет (характеристический полином определяет левую часть уравнения САУ, т.е. знаменатель передаточной функции):

Пологая (еслиотрицательно, то это условие можно выполнить, умножив весь полином на минус единицу), составляется из коэффициентовопределитель Гурвица:

В первой строке пишутся коэффициенты с условно нечетными индексами (т.е. коэффициенты с индексами n минус нечетное число, где n - порядок характеристического полинома), во второй - с условно четными (т.е. n минус четное число). Концы строк заполняются нулями так, чтобы матрица имела n столбцов. Третья и четвертая строки получаются сдвигом первых двух на одно место вправо и т.д. (всего строк - n).

Условия устойчивости заключаются в требовании положительности определителя Гурвица и всех его диагональных миноров. Из этого правила можно вывести более удобное для практического применения: САУ устойчива, если положительны все коэффициенты характеристического полинома и предпоследний диагональный минор определителя Гурвица (справедливо для систем не выше четвертого порядка).

Выведем выражение для расчета предпоследнего диагонального минора систем третьего и четвертого порядка.

Для систем третьего порядка (n=3):

(3.1)

Для систем четвертого порядка (n=4):

(3.2)

Перед дальнейшим изложением материала уточним терминологию и покажем, как без излишних вычислений составляется характеристический полином замкнутой САУ по заданной структурной схеме. Для пояснений воспользуемся схемой на рис.3.2.

Рис.3.2

Пусть передаточная функция разомкнутой системы и цепи обратной связибудут:

Последовательное соединение элементов с передаточными функциями идаст разомкнутую цепь звеньев замкнутой САУ с передаточной функцией, которую будем называть передаточной функцией разомкнутой цепи:

Через принятые обозначения определим передаточную функцию замкнутой САУ:

Отсюда характеристический полином замкнутой САУ будет:

(3.3)

То есть, характеристический полином замкнутой САУ равен сумме числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой цепи.

В качестве примера рассмотрим САУ со структурной схемой, приведенной на рис.3.3, для которой необходимо определить соотношение параметров, обеспечивающих устойчивость.

Рис.3.3

Составим характеристический полином замкнутой САУ в соответствии с (3.3):

(3.4)

Запишем характеристический полином в общем виде:

где

Условия устойчивости сводятся к следующим неравенствам:

Первые три неравенства интереса не представляют, если мы ограничиваем рассмотрение положительными значениями постоянных времени. Четвертое неравенство показывает лишь, что в случае ошибки и включения вместо отрицательной связи положительной система станет неустойчивой.

Реальные ограничения на значения параметров системы накладывает последнее неравенство. Его удобнее записать в другом виде, поделив левую часть на :

Это неравенство показывает, что устойчивость САУ в конце концов нарушится при неограниченном увеличении коэффициента передачи k при любых значениях постоянных времени.

Предельное по величине значение k, при котором САУ теряет устойчивость, принято называть критическим (или граничным). Для рассматриваемого примера:

(3.5)

Значение граничного коэффициента передачи зависит не от абсолютных значений постоянных времени, а от их отношения.

Для рассмотренной здесь структуры при равенстве всех постоянных времени, преобразовав соотношение (3.5) к виду

легко определить, что =8. Для данной структуры найденное значениеявляется минимальным. Чем больше будут различаться постоянные времени, тем больше будет величина.

С помощью критериев устойчивости можно строить области устойчивости.

При проектировании САУ ряд параметров и звеньев являются заданными, так как они определяются требованиями технологического процесса и конструктивными особенностями объекта регулирования. В то же время имеется несколько параметров, которые можно менять в определенных пределах. Для определения влияния значений каких-либо варьируемых параметров на устойчивость строят области устойчивости системы в пространстве этих варьируемых параметров.

Уравнения границ области устойчивости получаются из условий устойчивости, если заменить в них неравенства на равенства (это соответствует нахождению системы на границе устойчивости).

В общем случае границы области устойчивости по критерию Гурвица строятся по следующим уравнениям:

Первое уравнение соответствует наличию у характеристического уравнения пары сопряженных мнимых корней, второе равенство соответствует наличию нулевого корня, а третье - наличию бесконечного корня.

Для САУ, уже рассмотренной выше (см. рис.3.3), зададим варьируемыми параметрами общий коэффициент передачи разомкнутой цепи k и постоянную времени . Уравнениями для построения границ области устойчивости будут:

Границы области устойчивости изображены на рис.3.4. Около границ принято наносить штриховку в сторону области устойчивости.

Каждая точка внутри области устойчивости определяет комбинацию варьируемых параметров k и , при которых система устойчива. Причем, если система в пространстве всех своих параметров не имеет области устойчивости, она называется структурно неустойчивой. Для получения устойчивости в этом случае необходимо изменить структуру.

Область

устойчивости

1 k

Рис.3.4

Пример 3.1.

Определить устойчивость САУ, структурная схема которой приведена на рис.3.5, воспользовавшись критерием устойчивости Гурвица.

0,5

Рис.3.5

Для установления устойчивости определим граничное значение коэффициента передачи и сравним его с имеющимся значением коэффициента.

Передаточная функция разомкнутой цепи

В соответствии с (3.3) характеристический полином замкнутой системы

где

Так как система имеет третий порядок, то она будет находится на границе устойчивости при равенстве нулю выражения (3.1):

Отсюда находим

Коэффициент передачи разомкнутой цепи k=8,4 меньше, чем Следовательно, система в замкнутом состоянии устойчива.