Первый закон Кеплера.

Каждая планета движется по эллиптической орбите, причем Солнце располагается в одном из фокусов эллипса.

Второй закон Кеплера (закон равных площадей).

Прямая, соединяющая Солнце с планетой, заметает равные площади за равные времена.

Третий закон Кеплера.

Кубы величины орбиты планет относятся друг к другу как квадраты периодов обращений этих планет.

Для круго­вых орбит

Формулируя закон всемирного тяготе­ния, Ньютон применял его не только к падающим яблокам и Луне, но и к си­лам, действующим между Солнцем и пла­нетами. Ему удалось доказать, что в том и только том случае, когда силы подчи­няются закону обратных квадратов, орби­та любой планеты является эллипсом, в одном из фокусов которого находится Солнце. При этом для любых двух планет, траектории которых представляют собой окружности, имеет место соотношение

(для эллиптических орбит R-большая по­луось).

Ньютону удалось также вывести за­кон равных площадей Кеплера из своих трех законов движения. Тот факт, что все три закона Кеплера, в деталях описывав­шие движения планет, оказались след­ствиями законов Ньютона, рассматривает­ся как окончательное подтверждение нью­тоновской динамики.

Принцип эквивалентности

Опытным путем установлено, что вблизи поверхно­сти Земли все тела независимо от их массы падают с одним и тем же ускоре­нием. Этот экспериментальный факт при­вел Ньютона к утверждению, что сила тя­готения, действующая на тело, пропорцио­нальна его массе.

Но насколько точен этот экспериментальный факт?

Строго говоря, закон всемирного тяго­тения Ньютона определяет гравитационную массу тела.

Обозна­чим гравитационную массу через т'.

Мас­са, входящая в уравнение F = та, -это инертная масса; она будет обозначаться буквой т без штриха.

При свободном па­дении вблизи поверхности Земли инертная масса т₁ движется с ускорением а₁.

Таким образом, можно записать

(5-7)

Тело массой т₂ из другого вещества мо­жет иметь несколько иное ускорение а₂:

(5-8)

Разделив (5-7) на (5-8), получим

Мы видим, что если все тела падают с од­ним и тем же ускорением

а_{1 =} а₂ = g,

т.е. отношения инертных масс будут равны от­ношениям гравитационных масс.

Таким образом, если у какого-либо тела эти массы равны друг другу, то они будут равны и для всех других тел.

Эксперименты убедительно доказы­вают, что для всех веществ инертная и гра­витационная массы точно совпадают.

Такие опыты ставил еще Галилей на падающей башне в Пизе.

Это означает, например, что какая-нибудь вещь внут­ри искусственного спутника Земли будет двигаться точно по такой же орбите, как сам спутник, т. е. будет парить внутри него. И все это — следствие того факта, что сила пропорциональна массе, а ускорение обратно пропорцио­нально массе.

Насколько точно это утверждение?

На опыте его прове­рил Этвеш (1848—1919) в 1909 г., а впоследствии более тщательно — Дикке. Теперь мы знаем с точностью до одной десяти-миллиардной, что сила пропорциональна массе. Как уда­лось добиться такой точности?

Предположим, вы хотите определить, в какой мере подчиняется этому правилу при­тяжение Солнца. Вы знаете, что Солнце притягивает всех нас. Оно притягивает Землю, но, предположим, вы хотите знать, в точности ли это притяжение пропорционально мас­се.

Сначала опыт был проделан над сандаловым деревом, потом экспериментировали с медью и свинцом, а теперь пробуют на полиэтилене. Земля вращается вокруг Солнца, поэтому инерция отбрасывает земные тела от Солнца тем сильнее, чем больше инерция.

Но, согласно закону тяготе­ния, тела притягиваются к Солнцу — и тем сильнее, чем больше их масса. Поэтому если они притягиваются к Солн­цу не в той же пропорции, в какой отбрасываются инерцией, то один предмет будет, например, стремиться к Солнцу, а другой — прочь от него.

И тогда, прикрепив эти два пред­мета к коромыслу Кавендиша, мы увидим, что оно повер­нется по направлению к Солнцу и перекрутит кварцевую нить. На самом деле, однако, нить не перекручивается, и, с той точностью, которую дает этот опыт, мы знаем, что при­тяжение двух предметов строго пропорционально центро­бежному эффекту, который обусловлен инерцией.

Таким образом, сила притяжения объекта пропорциональна коэф­фициенту инерции, или, другими словами, массе.

Этот факт называется принципом эквива­лентности.

Он является фундаментальным законом природы, подтверждаемым, как и другие законы, экспериментом.

Следствием принципа эквивалентно­сти является то, что не существует способа отличить, движется ли сама лаборатория с ускорением или же на нее действует гра­витационное поле.

Если поместить физиче­скую лабораторию внутри движущегося с ускорением большого лифта, то внутри лифта мы не можем осуществить экспери­мент, который позволил бы ответить на следующий вопрос: движется лифт с уско­рением или лифт покоится, но «включен» какой-то источник гравитационного поля.

Принцип эквивалентности является основополагаю­щим в общей теории относительности Эйнштейна.

7