Варіанти індивідуальних завдань

Варіант 1.

1. Відомі рівняння двох сторін паралелограма , та точка перетину діагоналей (-1, 0).Знайти рівняння діагоналі, що проходить через точку перетину заданих сторін.

2. Скласти рівняння площини, що проходить через пряму

та паралельна прямій .

3. Скласти канонічне рівняння прямої, яка проходить через точку , паралельна площині і перетинає пряму .

4. Знайти точку, симетричну точці М(0,-3,-2) відносно прямої .

5. Побудувати лінії:

а) ;

б) ;

в) .

Варіант 2.

1. Скласти рівняння сторін трикутника, якщо відома одна його вершина та рівняння двох його висот

та .

2. Знайти відстань від точки до прямої

.

3. Знайти рівняння площини, що проходить через пряму та перпендикулярна площині .

4. Знайти точку, симетричну точці М(4,- 1,2) відносно площини .

5. Побудувати лінії:

а) ;

б) ;

в) .

Варіант 3.

1. Відомі дві вершини трикутника , і точка перетину його висот . Скласти рівняння сторін трикутника.

2. Знайти рівняння прямої, яка проходить через точку і перпендикулярна до прямої .

3. Скласти рівняння площини, яка проходить через початок координат, і паралельна прямій , перпендикулярна до площини .

4. Знайти рівняння площини, що проходить через вісь ОХ та точку .

5. Побудувати лінії:

а) ;

б) ;

в) .

Варіант 4.

1. Відома одна із сторін ромба та одна із його діагоналей . Знайти рівняння других сторін ромба, якщо його діагоналі перетинаються у точці .

2. Знайти рівняння прямої, яка проходить через точку та точку перетину прямої та площини .

3. Довести, що прямі та , , лежать в одній площині, та скласти рівняння цієї площини.

4. Знайти кут між площиною та координатною площиною .

5. Побудувати лінії:

а) ;

б) ;

в) .

Варіант 5.

1. Скласти рівняння сторін трикутника, якщо маємо одну його вершину , медіану та висоту , які виходять з однієї вершини.

2. Знайти точку, симетричну до точки відносно площини, що проходить через точки , , .

3. Довести, що прямі та перетинаються.

4. Знайти відстань від точки до площини .

5. Побудувати лінії:

а) ;

б) ;

в) .

Варіант 6.

1. Відомі рівняння двох сторін трикутника та . Знайти рівняння третьої сторони, якщо медіани цього трикутника перетинаються у точці .

2. Знайти точку на прямій за умови, що точки , , , лежать в одній площині.

3. Знайти рівняння площини, що проходить через точку паралельно прямим та .

4. Знайти відстань від точки до прямої .

5. Побудувати лінії:

а) ;

б) ;

в) .

Варіант 7.

1. Відоме рівняння однієї сторони квадрата та точка перетину його діагоналей . Знайти рівняння інших сторін квадрата.

2. Скласти рівняння площини, яка проходить через пряму паралельно прямій .

3. Знайти рівняння перпендикуляра до прямої , що проходить через точку .

4. Скласти рівняння площини, що проходить через прямі та , якщо ці прямі перетинаються. Якщо ці прямі схрещуються, то знайти відстань між ними.

5. Побудувати лінії:

а) ;

б) ;

в) .

Варіант 8.

1. Прямі та співпадають зі сторонами трикутника, точка - точка перетину його медіан. Знайти рівняння третьої сторони трикутника.

2. Знайти рівняння площини, яка проходить через точку паралельно прямій та перпендикулярно до площини .

3. Відома вершина куба . Обчислити його об’єм, якщо одна його грань лежить на площині, що проходить через точку та пряму .

4. Знайти рівняння прямої, яка проходить через точку та паралельна до площин та .

5. Побудувати лінії:

а) ;

б) ;

в) .

Варіант 9.

1. Відомо рівняння однієї сторони ромба та його діагоналі . Знайти рівняння інших сторін ромба, якщо його діагоналі перетинаються у точці .

2. Чи лежать прямі та в одній площині? У разі позитивної відповіді скласти рівняння цієї площини. У протилежному випадку обчислити відстань між цими прямими.

3. Знайти рівняння площини, яка проходить через точку та перпендикулярна до прямої .

4. Знайти рівняння площини, яка проходить через паралельні прямі та .

5. Побудувати лінії:

а) ;

б) ;

в) .

Варіант 10.

1. Відомі рівняння двох сторін паралелограма та . Знайти рівняння інших сторін паралелограма.

2. Знайти рівняння площини, що проходить через пряму перпендикулярно до площини .

3. Знайти рівняння площини, яка проходить через точку перетину прямої та площини перпендикулярно до прямої .

4. Знайти рівняння площини, що проходить через прямі та .

5. Побудувати лінії:

а) ;

б) ;

в) .

Варіант 11.

1. Маємо вершини трикутника та , площа якого дорівнює 4, та пряму , на якій лежить третя його вершина. Знайти рівняння сторін трикутника.

2. Знайти відстань між прямими та .

3. Знайти рівняння площини, яка проходить через пряму паралельно до прямої .

4. При яких прямі та перетинаються?

5. Побудувати лінії:

а) ;

б) ;

в) .

Варіант 12.

1. Знайти рівняння сторін трикутника, якщо маємо одну з його вершин , а медіана та висота виходять з однієї вершини трикутника.

2. Знайти відстань між прямими та .

3. Знайти рівняння перпендикуляра, що проходить через точку та перетинає пряму .

4. Написати рівняння площини, що проходить через точку та пряму .

5. Побудувати лінії:

а) ;

б) ;

в) .

Варіант 13.

1. Знайти рівняння сторони трикутника, якщо відома її середина , а рівняння двох останніх сторін трикутника мають вигляд та .

2. Знайти відстань між прямими та .

3. Через точку провести пряму перпендикулярно до прямих та .

4. Довести, що прямі та лежать в одній площині, та знайти рівняння цієї площини.

5. Побудувати лінії:

а) ;

б) ;

в) .

Варіант 14.

1. Відомі координати вершин трикутника , , . Знайти рівняння висоти, медіани та бісектриси, які виходять з вершини С.

2. Знайти рівняння площини, яка проходить через точку перетину прямої та площини , та паралельна до прямих та .

3. Знайти відстань від точки до площини, що проходить через точки , , .

4. Встановити взаємне розташування прямих та .

5. Побудувати лінії:

а) ;

б) ;

в) .

Варіант 15.

1. Знайти рівняння сторін трикутника, якщо відомі його вершина , рівняння його медіани та висоти , які виходять із однієї вершини.

2. Знайти рівняння площини, яка проходить через пряму паралельно до прямої .

3. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно векторам , .

4. Знайти відстань від точки до площини, що проходить через точки , , .

5. Побудувати лінії:

а) ;

б) ;

в) .

Варіант 16.

1. Відомі дві суміжні вершини квадрата , . Знайти рівняння його сторін.

2. Знайти відстань від точки до прямої .

3. Знайти рівняння площини, що проходять через точки , , .

4. Знайти проекцію точки на площину, що проходить через прямі та .

5. Побудувати лінії:

а) ;

б) ;

в) .

Варіант 17.

1. Відомі рівняння двох сторін трикутника та . Знайти рівняння третьої сторони, якщо її середина лежить у точці .

2. Обчислити об’єм куба, ребро якого дорівнює відстані між прямими та .

3. Знайти рівняння площини, що проходить через пряму перпендикулярно до площини .

4. Через точку провести пряму, яка паралельна до прямої .

5. Побудувати лінії:

а) ;

б) ;

в) .

Варіант 18.

1. Знайти рівняння трьох сторін квадрата, якщо відома точка перетину його діагоналей та рівняння однієї сторони квадрата .

2. Знайти рівняння площини, яка проходить через пряму паралельно до прямої .

3. Знайти проекцію точки на площину, що проходить через прямі та .

4. Знайти рівняння площини, що проходить через початок координат перпендикулярно до площин та .

5. Побудувати лінії:

а) ;

б) ;

в) .

Варіант 19.

1. Знайти рівняння сторін трикутника, якщо відомі вершини трикутника та , а також точка перетину його висот .

2. Перевірити, чи лежать прямі та в одній площині. У разі позитивної відповіді скласти рівняння цієї площини. У протилежному випадку обчислити відстань між цими прямими.

3. Знайти рівняння площини,яка проходить через пряму паралельно до прямої .

4. Знайти рівняння прямої, яка проходить через точку та точку перетину прямої та площини .

5. Побудувати лінії:

а) ;

б) ;

в) .

Варіант 20.

1. Відомі рівняння двох сторін трикутника та . Знайти рівняння третьої сторони, якщо медіани трикутника перетинаються у точці .

2. Знайти точку , симетричну до точки відносно площини, що проходить через прямі та .

3. Знайти рівняння перпендикуляра, що проходить через точку , перпендикулярно до прямої .

4. Знайти рівняння площини, що проходить через пряму перпендикулярно площині .

5. Побудувати лінії:

а) ;

б) ;

в) .

Варіант 21.

1. Знайти рівняння сторін трикутника, у якого та - висоти, а - одна з його вершин.

2. Знайти канонічне рівняння прямої, яка проходить через точку паралельно до площини та перетинає пряму .

3. Довести, що прямі та лежать в одній площині та знайти рівняння цієї площини.

4. Знайти рівняння площини, яка проходить через точки , , .

5. Побудувати лінії:

а) ;

б) ;

в) .

Варіант 22.

1. Відомі вершини трикутника , , . Знайти рівняння перпендикуляра, який опущено з вершини на медіану, проведену з вершини .

2. Знайти відстань між прямими та .

3. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку та точку перетину прямої та площини .

4. Знайти рівняння площини, що проходить через пряму паралельно до прямої:

.

5. Побудувати лінії:

а) ;

б) ;

в) .

Варіант 23.

1. Відомі вершини трикутника , , рівняння сторони та медіани . Знайти рівняння висоти, проведеної з точки С та знайти її довжину.

2. Знайти відстань від точки до прямої .

3. Дві суміжні вершини куба та є симетричними відносно площини, яка проходить через точки , , . Обчислити об’єм куба, якщо .

4. Через пряму провести площину, перпендикулярно до площини .

5. Побудувати лінії:

а) ;

б) ;

в) .

Варіант 24.

1. Відомі рівняння сторін трикутника: , та точка перетину його медіан . Знайти рівняння третьої сторони трикутника.

2. Знайти точку , симетричну до точки відносно площини, яка проходить через прямі та .

3. Знайти рівняння прямої, яка проходить через точку перпендикулярно до прямої .

4. Через лінію перетину площин та провести площину, яка проходить через початок координат.

5. Побудувати лінії:

а) ;

б) ;

в) .

Варіант 25.

1. Відомі вершини трикутника та . Висоти цього трикутника перетинаються у точці . Знайти рівняння сторін трикутника.

2. Через лінію перетину площин та провести площину, яка перпендикулярна до площини .

3. Знайти відстань від точки до прямої .

4. Знайти проекцію точки на площину, яка проходить через паралельні прямі та .

5. Побудувати лінії:

а) ;

б) ;

в) .

Варіант 26.

1. Скласти рівняння геометричного місця точок, рівновіддалених від двох паралельних прямих та .

2. Знайти рівняння площини, яка проходить через точку та пряму .

3. Знайти рівняння площини, яка проходить через пряму паралельно до прямої .

4. Знайти відстань від початку координат до площини, що проходить через точки , , .

5. Побудувати лінії:

а) ;

б) ;

в) .

Варіант 27.

1. Відомі дві суміжні вершини квадрата та . Скласти рівняння його сторін.

2. Знайти відстань між перехресними прямими та .

3. Знайти рівняння площини, яка проходить через пряму та перпендикулярна до площини .

4. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку і точку перетину прямої з площиною .

5. Побудувати лінії:

а) ;

б) ;

в) .

Варіант 28.

1. Знайти рівняння сторін трикутника, якщо відома одна з його вершин та рівняння двох його висот і .

2. Скласти рівняння площини, яка проходить через пряму паралельно до прямої .

3. Знайти рівняння прямої, що проходить через точки перетину площини з прямими і .

4. Знайти проекцію точки на площину .

5. Побудувати лінії:

а) ;

б) ;

в) .

Варіант 29.

1. Відомі рівняння однієї сторони ромба та його діагоналі . Знайти рівняння сторін ромба, якщо його діагоналі перетинаються у точці .

2. Знайти рівняння прямої, яка проходить через точку і точку перетину прямої і площини .

3. Перевірити, що прямі та перетинаються, і написати рівняння площини, що проходить через ці прямі.

4. Знайти рівняння перпендикуляра, який опущено з точки на площину .

5. Побудувати лінії:

а) ;

б) ;

в) .

Варіант 30.

1. Знайти рівняння сторін трикутника, якщо відомі його вершина та рівняння двох його медіан та .

2. Перевірити, чи належить пряма площині .

3. Знайти рівняння площини, що проходить через точку паралельно до прямих та .

4. Знайти рівняння прямої, яка проходить через точку перетину прямої з площиною перпендикулярно до прямої .

5. Побудувати лінії:

а) ;

б) ;

в) .

Навчальне видання

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до типових розрахунків за темою

«Аналітична геометрія»

(для студентів всіх напрямків підготовки)

Укладачі

Євгенія Валентинівна Дмитрук, ст. викл.

Ніна Давидівна Владикіна, ас.

Редактор Дмитрук Є.В.

Техн. редактор Дмитрук Є.В.

Оригінал-макет Дмитрук Є.В.

Підписано до друку ________

Формат 60×841/16 Папір типограф. Гарнітура Times.

Печатка офсетна. Усл. печ. л.______. Уч.-изд. л. ______.

Тираж 100 экз. Изд. № ______. Замовлення № _______. Ціна договірна.

Видавництво Східноукраїнського національного університету імені Володимира Даля

Адреса видавництва : 91034, м. Луганськ, кв. Молодіжний, 20а

Телефон: (0642) 41-34-12, факс. (0642) 41-31-60

E-mail: uni@snu.edu.ua http: www.snu.edu.ua

3