Площина та пряма у просторі

Площина у декартовій прямокутній системі координат може бути задана рівняннями:

1. – загальне рівняння площини;

2. –рівняння площини, що проходить через точку із заданим нормальним вектором ;

3. Рівняння площини, що проходить через точки , ,

4. – рівняння площини у відрізках ( , с - відрізки, що відсікає площина від осей координат);

5. – нормальне рівняння площини.

Кут між двома площинами

та

дорівнює куту між їх нормальними векторами та і обчислюється за формулою:

.

Умова перпендикулярності двох площин: =0.

Умова паралельності двох площин: .

Відстань від деякої точки простору до площини обчислюється за формулою:

Пряма у просторі може бути задана наступними рівняннями:

1. Перетин двох непаралельних площин та

- загальне рівняння прямої у просторі;

2. - канонічне рівняння прямої,

де - точка, що лежить на прямій,

- напрямний вектор прямої;

3. – параметричне рівняння прямої;

4. – рівняння прямої, що проходить через точки , ;

Кут між двома прямими та дорівнює куту між їх напрямними векторами та і обчислюється за формулою:

.

Умова перпендикулярності двох прямих:

=0 або в скалярній формі

Умова паралельності двох прямих: .

Напрямний вектор прямої, заданої у загальному вигляді

,

обчислюється за формулою

Відстань від точки до прямої

обчислюється за формулою:

,

де лежить на прямій ,

- напрямний вектор прямої.

Кут між прямою

та площиною

обчислюється за формулою:

Криві другого порядку і їх Канонічні форми

1. Коло

,

д е - центр кола, - радіус.

Зокрема, рівняння кола з центром у началі координат має вигляд

2. Еліпс

,

де - центр еліпса, - напівосі еліпса.

Зокрема, рівняння еліпса з центром у началі координат має вигляд

.

3. Гіпербола

,

де - центр гіперболи, - рівняння асимптот гіперболи.

Зокрема, рівняння гіперболи з центром у началі координат з віссю симетрії ОХ має вигляд

.

Зокрема, рівняння гіперболи з центром у началі координат з віссю симетрії ОY має вигляд

4. Парабола

,

де - параметр параболи,

- центр параболи,

- пряма, перпендикулярна до осі ОХ, - директриса параболи.

Парабола ( )

Парабола ( )

Теоретичні питання

1. Відстань між двома точками на площині та у просторі.

2. Ділення відрізка у заданому співвідношенні.

3. Рівняння прямої на площині.

4. Відстань від точки до прямої на площині.

5. Кут між прямими.

6. Рівняння площини.

7. Відстань від точки до площини.

8. Кут між площинами.

9. Рівняння прямої у просторі.

10. Відстань від точки до прямої у просторі.

11. Відстань між прямими у просторі.

12. Криві другого порядку

Теоретичні Вправи

1. Відомі три прямі , .

Записати необхідні та достатні умови того, що третя пряма проходить у гострому куті, який утворюють перші дві прямі.

2. Перевірити, що точка перетину висот трикутника лежить на одній прямій з точкою перетину медіан цього трикутника та з центром описаного навколо трикутника кола. Наприклад, візьміть трикутник з вершинами у точках , , .

3. Довести, що рівняння площини, що проходить через точки , та перпендикулярна до площини можна записати

4. Довести, що рівняння площини, що паралельна прямим

та

можна записати у вигляді

.

5. Довести, що рівняння прямої, що проходить через точку та паралельна площинам та можна записати у вигляді

6. Довести, що необхідними та достатніми умовами того, що прямі та належать одній площині є виконання рівності

7. Довести, що відстань між перехресними прямими

та

знаходиться за формулою

8. Довести, що відстань між точкою та прямою знаходиться за формулою

.