§ 4. Смо с ожиданием

Е сли время пребывания в очереди и число мест в очереди не ограничено, то такая система называется чистой системой с ожиданием. Предельный стационарный режим при t   существует, если  < n, то есть «мощность» системы достаточна для обслуживания данного потока заявок. В случае   n очередь будет неограниченно расти и предельного стационарного режима не существует. Размеченный граф состояний имеет вид:

где состояния Х₀ – все каналы свободны;

Х₁ – один канал занят;

… … … … … … … …

Х_n–1 – n–1 канал занят;

Х_n – n каналов занято;

Х_n+1 – n каналов занято, и одна заявка стоит в очереди;

Х_n+s – n каналов занято и s заявок стоит в очереди.

Предельные вероятности состояний определяются по формулам:

, (4.1)

, (4.2)

или

, (4.3)

, (4.4)

где .

Формулы (4.3) и (4.4) имеет смысл применять при n  5.

Среднее число заявок, находящихся в очереди определяется по формуле

(4.5)

или

(4.6)

В частности, для одноканальной СМО (n=1)

(4.7)

Для двухканальной СМО (n=2) средняя длина очереди определена формулой:

(4.8)

Задача 1. Рассматривается работа автозаправочной станции (АЗС), на которой имеются четыре заправочных колонки (n=4). Заправка одной машины длится в среднем 3 минуты. В среднем на АЗС каждую минуту прибывает машина, нуждающаяся в заправке бензином. Число мест в очереди практически не ограничено. Все машины, вставшие в очередь, терпеливо дожидаются своей очереди, так как на других АЗС города бензина нет.

Определить, существует ли установившийся режим обслуживания; если да, то найти:

1) вероятности p₀, p₁, p₂, p₃, p₄, p₅, p₆;

2) вероятность наличия очереди Р_оч;

3) среднюю длину очереди ;

4) среднее число занятых колонок ;

5) вероятность занятости колонки Р_зан;

6) среднее время ожидания машины в очереди ;

7) среднее время простоя колонки.

Решение. ; n = 4;  < n. Следовательно, стационарный предельный режим при t   существует.

1) Вероятности p_i:

Используя формулу (4.1), находим

2) Вероятность наличия очереди:

3) Среднее число машин, находящихся в очереди, можно найти по формуле (4.5)

4) Так как Р_обс = 1, то среднее число занятых колонок

5) Среднее время ожидания машины в очереди:

.

6) Среднее время пребывания машины у АЗС равно 3 + 1,53 = 4,53 мин.

7) Среднее число машин, ожидающих заправки или заправляющихся

8) Среднее время простоя колонки , так как .

Задача 2. На вход трехканальной системы с неограниченным временем ожидания поступает простейший поток заявок с плотностью  = 4 (четыре заявки в час). Среднее время обслуживания одной заявки Определить, существует ли установившийся режим обслуживания; если да, то найти вероятности состояний p₀, p₁, p₂, p₃; вероятность наличия очереди и среднюю длину очереди .

Решение. Имеем , так как ; ; n = 3;  < n. Значит, стационарный режим существует. По формуле (4.1) находим

Вероятность наличия очереди р_оч = 1 – (р₀ + р₁ + р₂ + р₃)  0,297.

Средняя длина очереди определяется по формуле (4.5) или (4.6):