Питання для самоперевірки.

1. Яке відображення прямої на пряму називається проективним?

2. Сформулювати теорему про проективне відображення прямої на пряму.

3. Як можна задати проективне відображення прямої на пряму?

4. Скільки існує проективних відображень однієї прямої на іншу?

5. Яке відображення прямої на пряму називається перспективним ?

6. К оли проективне відображення прямої на пряму буде перспективним?

7. Яка точка є центром перспективи?

8. Дати означення проективного відображення пучка на пучок.

9. Скільки можна задати проективних відображень пучка на пучок, які переведуть прямі a, b, c у прямі a', b', c ' цих пучків?.

10. Яке відображення пучка на пучок називається перспективним відображенням ?

11. Коли проективне відображення пучка на пучок буде перспективним?

12. Як означається проективне перетворення прямої?

13. Скільки інваріантних точок може мати проективне відображення прямої на пряму ( пучка на пучок)?

14. Що таке інволюція?

15. Яка ознака того, що проективне перетворення прямої буде інволюцією?

16. Скільки інваріантних точок має інволюція?

.

Тема 9: Лінії другого порядку на проективні площині.

Мета: ввести поняття лінії другого порядку на проективній площині, розглянути їх класифікацію та властивості.

План

1. Поняття лінії другого порядку на проективній площині.

2. Класифікація ліній другого порядку.

Ключові слова: лінія (крива) другого порядку на проективній площині, ранг лінії другого порядку, типи ліній другого порядку, не вироджена, вироджена, нульова , овальна крива .

Лінії другого порядку.

Означення: Нехай на проективній площині задано репер

Множина точок площини координати яких задовольняють

рівняння:

називається лінією або кривою другого порядку

Будемо вважати, що коефіцієнти не перетворюються

одночасно в нуль і

Властивості:

1. Поняття лінії не залежить від вибору репера на проективній площині

2. Поняття лінії і її рангу не змінюється (є інваріантом) при проективних перетвореннях площини.

3. Існує 5 типів ліній другого порядку на проективній площині.

Властивість 1).

I

­­ -

II

III () -

Р івняння () є рівнянням 2^го степеня(кожний член 2^го степеня) відносно змінних а отже, задає лінію 2^го порядку на проективній площині.

Таким чином поняття лінії другого порядку не залежить від

вибору репера на проективній площині.

Зауваження

- квадратична форма

Ранг квадратичної форми

називається рангом лінії 2^го порядку

- матриця квадратичної форми

Властивість 2)

Дано: r- ранг лінії 2^го порядку

Нехай - проективне перетворення ,

ранг лінії теж буде дорівнювати r

Отже, при будь-якому проективному перетворенні площини лінія 2^го порядку рангу r переходить у лінію 2^го порядку рангу r.

Властивість 3 )

Дано: .

Тоді = - квадратична форма у

Відомо, що у просторі можна знайти базис , відносно якого квадратична форма має нормальний вид:

Н ехай породжує т.

породжує т.

породжує т.

репер

Тоді -нормальне рівняння лінії другого

порядку на проективній площині

В залежності від рангу є такі види кривих

нульова крива

овальна крива

дві уявні прямі, які перетинаються

в дійсній точці

дві дійсні прямі, які перетинаються

дві дійсні прямі, що співпадають