Питання для самоперевірки.

1. .Дати означення складного відношення чотирьох точок прямої.

2. Сформулювати властивості складного відношення 4-х точок прямої.

3. Чи залежить складне відношення 4-х точок прямої від вибору репера на прямій?

4. Коли складне відношення 4-х точок прямої дорівнює відношенню координат четвертої точки?

5. Як виражається складне відношення 4-х точок прямої через прості відношення трьох точок?

6. Яке відношення називається гармонічним?

7. Сформулювати означення складного відношення 4-х прямих пучка.

8. Як знайти складне відношення 4-х точок прямої через їх координати відносно репера на площині ?

9. Яка фігура називається повним чотирьохвершинником?

10. Які точки називаються діагональними точками у повному чотирьох вершиннику?

11. Які прямі є діагоналями повного чотирьох вершинника?

12. .Де розміщені четвірки гармонічних точок у повному чотирьохвершиннику?

13. .Що є центром пучка гармонічних прямих у повному чотирьохвершиннику?

Тема7: Проективні перетворення площини.

М ета: дати означення проективного перетворення площини, довести теорему про існування і єдиність проективного перетворення площини, вивести формули аналітичного задання проективного перетворення площини.

План

1. Проективні перетворення площини. Властивості проективних перетворень.

2. Теореми про існування , єдиність та задання проективного перетворення площини.

3. Гомологія. Властивості гомології.

4. Аналітичне задання проективного перетворення площини.

5. Група проективних перетворень площини.

6. Предмет проективної геометрії.

Ключові слова: проективне перетворення площини, складне відношення 4-х точок прямої, не тотожне проективне перетворення, гомологія, вісь гомології, інваріантна пряма, інваріантна точка, пряма інваріантних точок, центр гомології, гіперболічна , параболічна гомологія, аналітичне задання, група проективних перетворень площини.

Проективні перетворення площини

О значення: Перетворення проективної площини називається проективним, якщо точки, які лежать на прямій, переходять у точки, які лежать на прямій, так, що зберігається складне відношення чотирьох точок прямої.: (А,В,С,D) d (А^!,В^!,С^!,D^!) d^! і

(АВ,СD) =(А^!В^!,С^!D^!)

Лема 1 Нехай і проективні репери на проективній площині. Тоді (задамо)відображення f, яке кожній точці площини з заданими координатами в репері R ставить у відповідність точку з тими ж координатами в , є проективним перетворенням площини.

f – відображення

 f - ін’єктивне відображення

 f – сюр’єктивне відображення

, f – бієктивне відображення Р₂ на себе

1. f – перетворення Р₂ чи проективне???

1. Якщо , , лежать на одній прямій, то

X^/, Y^/, Z^/ - лежать на одній прямій

б) При перетворенні f зберігається складне відношення 4^х точок прямої

А₂ A₂^!

А₃ Х₂^!- У₂^! Z₂^! Т₂^! А₃^!

Х₂^- У₂ Z₂ Т₂

А₁

X^/

Y^!

X Y Z T z^/

Т¹

т . - проекції т. - проекції

т. т.

? Чому ?

Якщо