Тема 6: Складне відношення 4-х точок прямої.

М ета: Ввести поняття складного відношення 4-х точок прямої, довести їх властивості; розглянути повний чотирьохвершинник, довести теореми про існування гармонічних точок, гармонічних прямих у повному чотирьох -вершиннику.

План

1. Означення складного відношення 4-х точок прямої.

2. Властивості складного відношення 4-х точок прямої

3. Складне відношення 4-х прямих пучка.

4. Знаходження складного відношення 4-х точок прямої через їх координати відносно репера на площині.

5. Повний чотирьохвершинник. Існування гармонічних точок та гармонічних прямих у повному 4-хвершиннику.

Ключові слова: складне відношення 4-х точок прямої, складне відношення 4-х прямих пучка, подвійне відношення, ангармонічне відношення, просте відношення трьох точок, гармонічне відношення 4-х точок, повний 4-вершник, , діагональні точки, діагоналі, четвірка гармонічних точок .

Складне відношення 4 точок прямої

Д ано

А ( )

В ( ) R

С ( )

D ( )

Озн-я: Складним, або подвійним, або ангармонічним відношенням чотирьох точок А, В, С, D прямої називається число, яке позначається (АВ,СD)

і обчислюється так де (АС), (ВD)...-визначники, складені з координат точок

Властивості:

1. ,

Якщо у складному відношенні 4-х точок поміняти пари букв місцями, то...

2. ,

Якщо у складному відношенні 4-х точок поміняти місцями букви в одній парі, то…

3. Нехай А, В, С, D d , d

; .

; .

(АС)=

Аналогічно

Отже (АВ,СD) =

Складне відношення чотирьох точок не залежить від вибору репера на прямій.

4. Дано : А,В,С,D d, R=(А,В,С) d , D(d₁ ,d₂)_R (АВ,СD)=?

(АВ,СD)= =

Складне відношення чотирьох точок прямої, три з яких є точками репера , дорівнює...

5. Чи виражається складне відношення чотирьох точок прямої через прості відношення трьох точок?

Д ано: d,

П означимо , , ,

---R

---

а ,b, с, d—афінні координати заданих

точок відносно репера R*

( АВ,СD)= = (1)

Знайдемо (АВ,С) , (АВ,Д)

( AB,C)= , За озн. , (AB,C)=

( AB,D)= , За озн. , (AB,D)=

Тоді (2)

З (1) (2) (АВ,СД)=

Отже, складне відношення чотирьох точок дорівнює відношенню……….

6. (АВ,СС)=1 7. Якщо (АВ,СD)=(АВ,СМ), то D=М.

8. Якщо (АВ,СD)= -1, то складне відношення називається гармонічним.

(АВ,СD)=( СD, АВ )=( ВА,СD)= - 1

Складне відношення чотирьох прямих пучка.

Теорема: Дано : точки А, В, С, D є l,

точки А^!, В^!, С^!, D^!- проекції на пряму l^!

Дов. (АВ,СD)=( А^!В^!,С^!D^! )

Через координати

R=( А,В,О,Е) , D єАВ D( d₁,d₂,0)_R ,

D( d₁,d₂), R₃=( А,В,C)

(АВ,СD)= (1)

R^!=( А^!,В^!,О,Е) D^! єА^!В^! D^!( d^!₁,d^!₂,0) _R!,

D^!( d^!₁,d^!₂), R^!₃=( А^!,В^!,C^!)

(А^!В^!,С^!D^!)= (2)

Формули перетворення

А ^!(1,0,а)_R х₁=х₁^!

В^!( 0,1, b)_R х₂=х₂^!

О( 0, 0 , 1)_R * ( 1,-а, -b) х₃=ах₁^! +в х₂^! +( 1-а-в)х₃^!

Е(1,1 , 1)_R (1, 1 ,1 ) d₁=d₁^!

d₂=d₂^! (3)

d₃ =

(1).(2),(3) (АВ,СD)= (А^!В^!,С^!D^!)

П(О)+ Т

Складним відношенням чотирьох прямих пучка називається складне відношення чотирьох точок перетину будь-якої прямої з прямими пучка

a b c d

(аb,сd)=(АВ,СD)= (А^!В^!,С^!D^!)

Знаходження складного відношення чотирьох точок прямої через їх координати відносно репера на площині

A₂ P₂, R=( A₁,A₂,A₃,E) P₂

M ( m₁,m₂ , m₃ )

N(n₁, n₂, n₃ )

K( k₁, k₂, k₃ ) R

P(p₁, p₂, p₃ )

A₁ M₂, N₂, K₂, P₂, E₂ A₃

M N

K P d

M ---------M₂ M₂(m₁,m₃) N---------N₂ A₁A₃ N₂(n₁,n₃)

K---------K₂ K₂(k₁,k₃) R₂=(A₁, A₃,E₂ )

P----------P₂ P₂(p₁,p₃)

За теоремою про складне відношення чотирьох прямих пучка

(MN, KP)=( M₂N₂,K₂P₂)=

Повний 4-вершинник

Означення: Повним 4-вершинником називається фігура, яка складається з чотирьох точок проективної площини загального положення та шести прямих, які попарно з’єднують ці точки.

B - 4-вершинник

і

A і протилежні сторони

Y і

C

D

діагональні точки діагоналі

Теорема: 1) На кожній діагоналі повного 4-вершинника є

четвірка гармонійних точок: дві з яких є діагональними, а дві

інші – це точки перетину цієї діагоналі з протилежними

сторонами, що проходять через третю діагональну точку;

В

А - повний 4-вершинник

Y

С

D

M

N

П учок перетнуто прямими і

Чому?

Пучок перетнуто прямими і

Чому?

якщо отже

(3)

суперечність умові гармонічна четвірка

2) з (1),(3)

На кожній стороні повного 4-вершинника є четвірка гармонічних точок:

дві з них – вершини, одна діагональна, одна – точка перетину цієї сторони

з діагоналлю, що проходить через дві інші діагональні точки;

3)

Кожна діагональна точка є центром пучка гармонічних прямих, дві з

яких – протилежні сторони, дві інші – діагональні прямі.