18. Параметрическое задание функции

Уравнения называются параметрическими уравнениями кривой , если для всевозможных значений t ( из некоторой области, в которой определены обе функции) получаются всевозможные точки этой кривой (т.е. для любого значения t из данной области чúсла f(x) и φ(x) являются абсциссой и ординатой оответствующей точки кривой.

Пример 1. Уравнения , где , определяют окружность. Это нетрудно проверить, если каждое из уравнений возвести в квадрат и сложить; получим - уравнение окружности.

Пример 2. Уравнения , где , определяют эллипс. На самом деле, из данных уравнений нетрудно получить систему: Возведя оба уравнения в квадрат и сложив, получим: или - каноническое уравнение эллипса.

Если функция задана параметрически уравнениями в некотором промежутке изменения t , то производная функции y по переменной x ( пишут ) вычисляется по формуле = .

Вторая производная вычисляется по формуле:

.

18. Кривизна. Радиус кривизны. Центр кривизны

Кривизна в декартовых координатах :

.

Кривизна в полярных координатах : .

Кривая задана в параметрической форме: : .

Радиус кривизны в декартовых и в полярных координатах: .

Координаты центра кривизны:

,

, .

ДЛЯ ЗАМЕТОК

116