14. Теорема Лагранжа о конечном приращении функции

Если функция непрерывна на [a, b] и дифференцируема в (a, b), то внутри отрезка [a, b] найдётся, по крайней мере, одна такая точка (a, b), в которой

Геометрический смысл: если кривая y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема в (a, b), то к графику функции можно провести по крайней мере одну касательную, параллельна хорде АВ.

15. Правило Лопиталя

Правило Лопиталя для неопределённостей вида или :

, если предел справа существует.

15. Применения производной к исследованию

функций

1. Достаточные признаки возрастания и убыва- ния функции (в точке и на отрезке):

если , то функция возрастает ;

если , то функция убывает.

11.16.2. Необходимые условия экстремума функции в точке :

или - не существует.

11.16.3. Достаточные условия экстремума.

а) Если при переходе через (слева направо !)

меняет знак с «+» на «-» , то - точка максимума:

;

меняет знак с «-» на «+» , то - точка минимума:

.

б) Если в точке

, но , то ;

, но , то .

11.16.4. Точки перегиба графика функции .

Необходимое условие на перегиб в точке :

или - не существует.

Достаточное условие на перегиб в точке :

меняет знак при переходе через точку .

11.16.5. Асимптоты

Прямая есть вертикальная асимптота, если

.

Наклонная асимптота: , где

, .

11.16.6. Уравнения касательной и нормали к кривой

Уравнения касательной и нормали к кривой в точке :

а) касательной (АВ на рис): ;

в) нормали (АС на рис.): .

17. Приближённые вычисления корней уравне-

ния

Если функция непрерывна на отрезке и , то корень уравнения приближённо может быть найден по формулам:

, ( метод хорд );

, где (метод касательных).

18. Дифференциал функции

Дифференциал функции : или .

Связь приращения функции с её дифференциалом :

, где при .

Отсюда ясно, что приращение дифференцируемой функции или

. (*)

Эта формула используется в приближённых вычислениях.

Заметим, если , или, в силу (*):