Контрольные варианты к задаче 1.

Даны точки А, В и С. Разложить вектор по ортам Найти длину, направляющие косинусы и орт вектора .

1.		2.
3.	.	4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
23.		24.
25.		26.
27.		28.
29.		30.

Задача 2. Если даны векторы то скалярное произведение .

Т огда ; проекция вектора на направление вектора равна , условие перпендикулярности ненулевых векторов выглядит следующим образом: Условие коллинеарности векторов: .

Пример 2. Даны вершины треугольника Найти угол при вершине А и проекцию вектора на сторону АС. С

В нутренний угол при вершине А образован векторами ,

А В

Т огда

Проекция на направление вектора :

Контрольные варианты к задаче 2

Даны точки А, В и С из задания 1. Найти угол при вершине А и проекцию вектора на сторону АС.

Задача 3. Площадь параллелограмма, построенного на векторах

можно найти по формуле а площадь треугольника, построенного

на этих векторах: где

Определитель второго порядка вычисляется по формуле: .

Пример 3. Даны вершины треугольника Найти его площадь и длину высоты, опущенной из вершины С.

. Находим векторы

Векторное произведение

Длина полученного вектора равна :

Так как где длина высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ, .

Контрольные варианты к задаче 3

Даны точки А, В и С из задания 1, которые являются вершинами .

Найти его площадь и длину высоты, опущенной из вершины С.

Задача 4. Если даны координаты , то смешанное произведение векторов вычисляют по формуле

.

Объемы параллелепипеда и тетраэдра (треугольной пирамиды), построенных на векторах находятся с помощью смешанного произведения векторов:

,

Если > 0, то тройка векторов - правая.

Если < 0, то тройка левая.

Если = 0, то векторы компланарны.

Пример 4. Дан тетраэдр построенный на векторах и Найти высоту, проведенную из вершины на грань ABD.

Объем равен произведению площади основания на высоту:

находится также по формуле , поэтому

.

Вычислим векторное произведение =

Тогда