Лекция 3 Динамика системы материальных точек.

§ 3 - 1. Центр масс системы материальных точек.

C Y m1 А  r1= l1  R l2  В r2 m2 X Рис.10. К опреде- лению центра масс.

Центром масс двух материальных точек А и В с массами m1 и m2 соответственно называется точка С, лежащая на отрезке, соединяющем А и В, на расстояниях l1 и l2 от А и В, обратно пропорциональных массам точек (см. рис.10.), т.е. . ( 3-1 ) Если положения точек А и В задаются радиус-векторами r1 и r2 , то положение центра масс определяется радиусом - вектором R. Из рис.10 следует, что R = r1 + l1 и R = r2 + l2 , ( 3-2 )

У множая первое из этих уравнений на m₁, а второе - на m₂ и складывая их, получим:

. ( 3-3 )

Из рис.10 и равенства ( 3-1 ) следует, что m₂l₂ = - m₁l₁. С учетом этого соотношения из выражения ( 3-3 ) можно определить значение радиуса - вектора R:

. ( 3-4 )

Обобщая это выражение для произвольного числа материальных точек, получим:

, ( 3-5 )

где = М - полная масса системы точек.

Скорость центра масс такой системы определяется дифференцированием ( 3-5 ):

. ( 3-6 )

Величины m_iv_i представляют собой импульсы отдельных точек, поэтому урав-нение ( 3-6 ) можно переписать в следующем виде:

= Р, ( 3-7 )

г де через Р обозначен суммарный импульс системы. Дифференцируя ( 3-7 ), находим выражение для ускорения центра масс системы А:

. ( 3-8 )

§ 3 -2 Закон изменения импульса системы материальных точек.

Для простоты рассмотрим движение системы, состоящей из трех точек, на каждую из которых действуют внутренние силы f_ik и внешние - F_i , где индекс i представляет номер точки. Уравнения движения для каждой точки имеют вид:

( 3-9 )

Складывая эти уравнения, получим:

( 3-10 )

По третьему закону Ньютона внутренние силы попарно равны по величине и противоположны по направлению ( например, f₁₂ = -f₂₁). Потому сумма всех внутренних сил равна нулю, и

, ( 3-11 )

где через Р обозначен суммарный импульс системы. Обобщая ( 3-11 ) для любого числа материальных точек, можно записать следующее выражение:

, ( 3-12 )

которое принято называть законом изменения импульса системы материальных точек. Как видно из этого выражения, изменение суммарного импульса определяется равнодействующей всех внешних сил, действующих на систему. Если же эта равнодействующая равна нулю ( или на систему не действуют никакие внешние силы), то суммарный импульс системы остается постоянным. Это следствие уравнения ( 3-12 ) называется законом сохранения импульса. Другим следствием рассмотренного закона изменения импульса служит теорема о движении центра масс, которая утверждает, что центр масс системы материальных точек под действием внешних сил движется как материальная точка суммарной массы, к которой приложены все внешние силы, и записывается в таком виде:

МА = . ( 3-13 )

Доказательство этого утверждения следует из сравнения определения ускорения центра масс( 3-8 ) и выражения ( 3-13 ).

Примерами закона сохранения импульса могут служить отдача при стрельбе из огнестрельного оружия, реактивное движение, перемещение осьминогов и т.п.