1. Системотехнічне проектування

1.1 Аналіз математичних моделей систем зв’язку із урахуванням пріоритетів

При проектуванні систем зв’язку необхідний аналіз їх функціонування,як систем масового обслуговування. Це необхідно для аналізу навантаження, яке надходить до системи, і таких показників якості обслуговування абонентів як ймовірність відмови у обслуговуванні, ймовірність очікування обслуговування,середній час очікування обслуговування або спробі потрапити до системи на обслуговування. В дійсний час при проектуванні використовуються математичні моделі, які описують системи масового обслуговування,які можна класифікувати за низкою ознак:наявність або відсутність черги,врахування або неврахування повторних звернень до системи та інше.

Найчастіше користуються найбільш простою моделлю систем масового обслуговування – моделлю системи з явними втратами (з урахуванням і без урахування обмеженого числа джерел звернень)[8,14,18]. Далі описана математична модель системи з явними втратами(рис1.1). У системі V одиниць обслуговування. До системи надходить потік заявок (викликів) з простою післядією. Дисципліна обслуговування – з явними витратами: якщо всі одиниці системи зайняті, чергова заявка не обслуговується та повністю «втрачається», тобто на обслуговування не надходить. Час обслуговування заявки – показниково розподілена випадкова величина із середнім значенням h (звідси середня швидкість обслуговування µ=1/h). Число i(t) зайнятих одиниць обслуговування називають навантаженням системи. Оскільки навантаження – величина випадкова, то при теоретичних дослідженнях та розрахунках використовують її математичне сподівання, дисперсію та моменти більш високого порядку.

Рис.1.1 Система з явними втратами

Математичне сподівання навантаження (інтенсивність навантаження в момент t визначається рівнянням

.

У цій формулі - імовірність того, що в моментt зайнято i одиниць обслуговування.

Під станом i системи з явними втратами розуміють кількість зайнятих одиниць обслуговування. Таким чином, для системи з явними втратами стан системи представляє навантаження системи. Нехай до системи надходить примітивний потік заявок. Його параметр залежить від попередніх подій, але повністю визначається станом системи:

,

де N – кількість джерел заявок; i – кількість джерел, що знаходяться на обслуговуванні в системі; - інтенсивність одного джерела у вільному стані.

Приватним випадком примітивного потоку є найпростіший – ординарний стаціонарний без післядії. Із зростанням N та відповідним зменшенням післядія примітивного потоку стає менш явно. При обмеженому значенніi та N→∞, → 0, але так, що N*=const, примітивний потік перетворюється в найпростіший. На практиці при відносно невеликих значеннях та N ≥ V прийнята модель найпростішого потоку.

Параметр потоку часто виражають у кількості заявок в умовну одиницю часу (у.о.ч.), яка дорівнює середній тривалості обслуговування (1у.о.ч. =h),

.

У цьому випадку параметр потоку можна виражати також у ерлангах та трактувати як інтенсивність навантаження, що поступає, коли система знаходиться у станіi.

Для більшості практичних завдань при розгляді систем масового обслуговування обмежуються дослідженням установленого режиму, якого досягає система при t→∞. При цьому імовірності стану системи прагнуть до постійної границі не залежно від t та початкового розподілу . Граничний розподіл ймовірностей характеризує роботу системи в стан i дорівнює інтенсивності її виходу із цього стану.

У режимі, який встановився,імовірність того, що система знаходиться у стані i, визначають для випадку примітивного потоку заявок виразом

,

де

,

(це перший розподіл Ерланга), а для випадку найпростішого потоку –

(це розподіл Енгсета).

Інтенсивність обслуженого навантаження Y при Const є постійна величина Y. Для випадку примітивного потоку інтенсивність обслуженого навантаження

,

а для випадку найпростішого потоку

,

Де – імовірність того, що система знаходиться в станіV, тобто в ній зайняті всі V одиниць обслуговування.

Кожній дисципліні обслуговування притаманні деякі допоміжні характеристики якості обслуговування. У системі із явними втратами основною характеристикою є імовірність втрати заявки , а допоміжними – імовірність втрат за часомі за навантаженням.

Імовірність втрати заявки , що надійшла в проміжок часу(,є співвідношення середніх інтенсивностей потоків загублених заявок та всіх заявок,які надійшли. Для випадку примітивного потоку заявок

,

а у випадку найпростішого потоку

,

Імовірність витрат за часом проміжок часу(, є імовірність зайнятості в цей проміжок усіх одиниць обслуговування. Такий стан системи називають станом насичення або «небезпечним станом системи».

Для випадку примітивного потоку заявок

,

а для випадку найпростішого потоку

.

Імовірність втрат за навантаженням у проміжок( є співвідношення інтенсивностей загубленого R та потенційного A навантажень у цей проміжок.

Для випадку примітивного потоку заявок

,

а для випадку найпростішого потоку

,

Втрати за навантаженням є абстрактною характеристикою, тому на практиці вони не вимірюються. Таким чином,при надходженні до системи найпростішого потоку заявок ,а при надходженні примітивного потоку – .

Також часто використовується модель системи, в якій враховується факт наявності черги. Далі описана система з нескінченою чергою (рис1.2)[8,14,18]. В системі V одиниць обслуговування. Час обслуговування – випадкова величина з показниковим законом розподілу. Середню тривалість обслуговування h будемо вважати за умовну одиницю часу. До системи надходить найпростіший потік заявок на обслуговування з параметром 𝝀, вираженим у кількості заявок в умовну одиницю часу. У цьому випадку його можна також розглядати як навантаження, що надходить до системи. Коли при надходженні заявки виявляється, що всі одиниці обслуговування зайняті, то вона становиться до черги,кількість місць очікування в якій дорівнює S. Якщо при надходженні заявки всі місця в черзі заповнені,то заявка «втрачається» та на обслуговування більше не поступає. Таким чином, у даній системі має місце комбінована дисципліна обслуговування – з явними та умовними втратами.

Рис.1.2 Система з нескінченою чергою

Під станом системи i (i=0, V+s) розуміємо кількість заявок, що знаходяться в системі (на обслуговуванні та в черзі). Таким чином, якщо заявка надходить до системи, що знаходиться у стані i<V, то вона одразу обслуговується. При надходженні заявки до системи у стані V≤i<V+S вона потрапляє до черги та обслуговується після декого очікування. Але якщо система знаходиться у стані i = V+ S, тобто зайняті всі місця в черзі, то наступна заявка втрачається. Імовірність того, що система знаходиться у стані i, визначається для установленого режиму таким чином:

при i = 0,V,

при i = V,V+S.

До основної характеристики якості відносять імовірність очікування (імовірність того, що заявка потрапить в чергу), це імовірність того, що заявка не буде обслужена одразу після її надходження до системи. Ця ж імовірність дорівнює імовірності втрат за часом – тобто, що система знаходиться в стані, при якому зайняті всі одиниці обслуговування:

.

Окрім того, роботу системи характеризують такі показники функціонування:

• середня тривалість очікування

• та імовірність чекання понад припустимого часу ,

Також модель системи може враховувати надходження повторних замовлень на обслуговування. Це модель системи із повторними зверненнями,яка описана нижче (рис1.3)[8,14,18].В цій системі тривалість обслуговування однієї заявки – показникові розподілена випадкова величина із середнім значенням h. До системи надходить потік заявок, серед яких можна виділити первинні та повторні заявки. Якщо при надходженні первинної заявки всі одиниці обслуговування зайняті, то з ймовірністю Н₁ джерело звертається до системи повторно,але якщо і при повторному зверненню знову зайняті всі одиниці обслуговування, то джерело повторних заявок зміниться до Н₂. Отже створюється група джерел, що роблять повторні спроби. Від цієї групи надходить потік заявок з параметрами jβ, де j – кількість джерел повторних заявок, а β – інтенсивність джерела повторних заявок.

Рис.1.3 Система з повторними зверненнями

Стан даної системи характеризують два значення: i та j – кількість зайнятих одиниць обслуговування та джерел повторних заявок відповідно.

Інтенсивність обслуженого навантаження для даної системи становить

.

Для оцінки якості обслуговування в системі з повторними заявками використовують такі характеристики:

• імовірність втрати первинної заявки ;

• імовірність втрати повторної заявки ;

• імовірність втрати будь-якої заявки ;

• середня кількість джерел повторних заявок ;

• середня кількість повторних спроб на одну обслужену заявку ;

• середня кількість повторних спроб на одну первинну заявку;

• середній час, що витрачається на джерелом на одержання обслуговування .

Аналітичні вирази для ймовірностей P_i,j в установленому режимі роботи системи, що використовується для знаходження характеристик якості обслуговування, одержані тільки при V<2. Тому для визначення ймовірностей P_i,j застосовують чисельні методи з використанням рекурентних співвідношень. Для можливості чисельного рішення всі імовірності P_i,j при j>n прирівнюють нулю. Це рівнозначно припущенню, що число джерел повторних заявок J≤n. Величина n обирається звичайно з умови, що . Характеристики якості роботи системи можуть бути також визначені на основі імітаційного моделювання роботи системи з повторними заявками в режимі статистичної рівноваги.

Таким чином для моделей систем з явними втратами і систем з очікуванням отримані аналітичні вирази для розрахунку показників якості функціонування системи. Для математичної моделі системи з повторними заявками аналітичні вирази для розрахунку показників її якості не отримані. Для розрахунку показників якості цієї системи використовують числові методи. Якісним методом також є моделювання системи і розрахунок показників моделювання по результатам спостережень моделювання імітаційної моделі[3].

Описані моделі є найбільш широко використовуємо та придатними для початкових етапів проектування, коли система може бути представлена в найбільш загальному вигляді. Для стадії більш докладної розробки системи необхідно використовувати більш повний математичні моделі,які більш докладніше описують процес функціонування системи зв’язку, як системи масового обслуговування. Для більш повних систем аналітичних виразів немає, тому розробляючи імітаційні моделі потрібно враховувати й класи пріоритетів й чергу їх надходження.

1.2

В дійсний час широко використовується програмні продукти, які реалізують імітаційні моделі систем масового обслуговування. Імітаційні моделі якя реалізовані в таких програмних продуктах можна поділити на два рівня точності . Моделі першого рівня точності забезпечують моделювання з точністю до тривалості кожного обслуговування. Більш грубу моделі імітують рівень заповнення моделі і показники якості функціонування в залежності від параметрів потоків навантаження яке надходить до системию В данному проекті вибрана модель більш високого рівня точності. Але в ній не використано ретельне врахування з внутрішньої структури системи. Більшість програмних продуктів які реалізують імітаційні моделі, враховують структуру системи .прикладом такого програмного продукту є програмний продукт Anylan Такіпрограмні продукти – середовище програмування, користувач у цих програмах змушений виконувати операції щодо ретельного опису системи, зв’язку між її елементами. Тобто такі програми є «конструкторами», які дозволяють користувачу «збирати» систему.

У дипломному проекті поставлена задача розробити імітаційну модель яка орієнтована не на дослідження внутрішніх процесів в системі а для вирішення відносно«вузької» задачі розрахунку загальних показників функціонування системи.,При цьому вона має охоплюватидостатньо широкий спектр систем. Користувачуімітаційної

моделі необхідно при доставити можливістьваріювати якісні риси моделі (наявність або відсутність черги, врахування або неврахування повторних звернень до системи, розподіл груп навантажень за класами пріоритетів або неврахування класів пріоритетів та ін.). Така задача вирішена в дипломному проекті…