1.2 Розробка математичної моделі системи зв’язку із урахуванням приорітетів

Розглядається повнодоступна система (рис 1.4), в якій U обслуговуючих одиниць користувачів розбиті на g груп пріоритетів, в кожній k - тій групі пріоритетів n_k джерел заявок. Загальне число заявок                               

Від кожного джерела k -тої групи, який знаходиться у вільному стані, надходить потік звернень в систему з інтенсивністю α_k. Потік звернень від джерела постійно знаходиться у вільному стані (якби після кожного звернення в систему він миттєво звільнявся) - найпростіший. Тобто тривалість інтервалів часу між зверненнями - випадкові величини з експоненціальним законом розподілу

В системі є черга, в якій S місць обслуговування. Якщо при надходженні первинної заявки всі U обслуговуючих одиниць зайняті і в черзі є вільні місця, то заявка ставиться в чергу. Якщо всі місця в черзі зайняті, то з імовірністю H_1k джерело k - тої групи починає робити повторні звернення в систему. А з імовірністю 1 - H_1k - відмовляється від повторних спроб.

Рис. 1.4 Повнодоступна система зв’язку з обслуговуванням за пріоритетами

В результаті утворюється група з j джерел, які повторюють звернення в систему. Кожне джерело k -тої групи повторних заявок звертається в систему з високою інтенсивністю β_k. Потік звернень від джерела повторних заявок - найпростіший з параметром β_k, тобто проміжок часу між сусідніми подіями цього потоку - випадкова величина з експоненціальним законом розподілу

Якщо звільняється обслуговуюча одиниця, то всі заявки, які перебувають у черзі, сортуються в порядку зростання класів пріоритетів. Потім вибирається та заявка найбільшого класу пріоритету, яка раніше інших заявок цього класу пріоритетів надійшла в чергу. Тобто заявки з меншим номером класу пріоритету обслуговуються першими. Таким чином, утворюється як би кілька черг, в кожній з яких знаходиться заявка одного класу пріоритету. Тривалість обслуговування - випадкова величина з експоненціальним законом розподілу.

де h_k - середня тривалість обслуговування джерела заявок k -тої групи пріоритетів.

Якщо при надходженні звернення від джерела k -тої групи повторних заявок йому відмовлено в обслуговуванні, то він з ймовірністю H_2k продовжує повторювати звернення в систему. А з імовірністю 1 - H_2k ˗ відмовляється від повторної спроби отримати обслуговування. Таким чином, H_1k і H_2k є мірою наполегливості джерел заявок. Параметр потоку первинних заявок від джерел k -тої групи

де i_k - число джерел k -тої групи, які знаходяться в системі на обслуговуванні

j_k - число джерел k -тої групи, які повторюють звернення в систему.

Сумарне число джерел заявок, які знаходяться в системі

Загальне число джерел повторних заявок

Сумарний потік первинних заявок

Параметр потоку повторних заявок від джерела k -тої групи

Параметр потоку повторних заявок від всіх абонентів системи

В моделі системі враховується,що з часом перебування джерела замовлень у черзі клас пріоритету може бути підвищений. Вважається що підвищення класу пріоритету відбувається після того як час його перебування у черзі t_очік перевищує задане граничне значення t_{о гр.}(умова підвищення класу пріоритету t_очік.> t_{о гр.}). Значення t_очік визначається як різниці між моментом поточного часу t і моментом часу потрапляння до черги t_по

t_очік=t- t_по.

Крім того враховується, що абонент може покинути чергу,при цьому вважається що ймовірність виходу з черги зростає з часом перебування у черзі. Для моделювання моменту часу виходу абонента з черги запропонований піхід для моделювання часу перебування у черзі,тобто до моделювання моменту виходу абонента з черги.

При моделюванні виходу абонента з черги вважається що час перебування у черзі випадкова величина з експоненційним законом розподілу, який описує рівняння

Де альфвав-параметр потоку виходу,інтенсивність виходу з черги.

Тп-час який відраховується від моменту потрапляння до черги.

Прийнято що параметр виходу з черги альфав залежний від часу і може бути визначене рівнянням(рис…)

Альфав=альфавнач+К(Тп)

Альфав=альфавнач+…

Но кожному кроці моделювання розраховується поточне значення альфа от Тп і моделюється мовий час перебування у черзі. Генерується випадкова величина, яка є часом перебування у черзі дельта пер, як експоненціальна величина лямдатп. Момент виходу з черги Тв визначається чк сума моменту потрапляння до черги і інтервал часу який абонент знаходиться у черзі. Таким чином момент часу виходу з черги поступово наближується до моменту потрапляння до черги.(рис…)

Процес моделювання відбувається таким чином. На кожному кроці моделювання час збільшується з прийнятим кроком дельта т і розраховується поточне значення моментів виходу з черги для всіх абонентів,які перебувають у черзі. Дналі моделюються події які відбуваються в системі.

В системі можливі 5 подій: надходження первинної заявки, надходження повторної заявки, звільнення обслуговуючої одиниці, зміна пріоритету, вихід із черги.

Моделювання цих подій і реакції на події описані нижче.

Подія 1.В систему надходить первинна заявка від джерела k -тої групи. Для моделювання цієї події для кожного джерела, якій знаходиться у вільному стані, визначено момент t_пзкl часу, коли від нього надійде заявка. Поточний час змінюється на Δt на кожному кроці за часом. Якщо поточний час перевищить значення часу t_пзкl надходження заявки від L- того джерела k -тої групи в систему, то полагається, що заявка надійшла .

Система реагує на цю подію наступним чином. Визначається вільна обслуговуюча одиниця (наприклад, продивляються всі обслуговуючі одиниці і перша,що зустрілася, вільна використовується для обслуговування заявки, що надійшла). При постановці заявки на обслуговування моделюється момент часу, після закінчення якого заявка буде обслужена і покине систему.

Якщо вільних обслуговуючих одиниць у системі немає - виконується перевірка, чи є вільні місця очікування в черзі. Якщо такі місця є - заявка ставитися в чергу на обслуговування. Якщо черга повністю заповнена - моделюється один з можливих результатів події при повторному зверненні джерела в систему. З вірогідністю Н₁ джерело робитиме повторні звернення та перейде в групу джерел повторних заявок. У цьому випадку моделюється момент часу, в який від джерела надійде повторна заявка.

З імовірністю 1-Н₁ джерело відмовляється від повторних спроб та повертається в групу джерел, що перебувають у вільному стані. У цьому випадку моделюється момент часу, коли від джерела надійде нова первинна заявка. Для цього до поточного моменту часу t додається тривалість інтервалу часу по закінченню, якого від L- того джерела k - того пріоритету надійде заявка

Подія 2.В систему надходить повторна заявка від джерела k -тої групи. Для моделювання цієї події для кожного джерела, що повторює звернення в систему, визначено момент часу t_повткl, коли від нього надійде повторна заявка. Поточний час змінюється на Δt на кожному кроці за часом. Якщо поточний час перевищить значення часу t_повткl надходження заявки від повторюючого звернення L- того джерела k -тої групи, то полагається, що заявка надійшла.

Система реагує на цю подію наступним чином. Визначається вільна обслуговуюча одиниця. Якщо така одиниця знайдена - заявка ставиться на обслуговування - моделюється момент часу, після закінчення якого заявка буде обслужена і покине систему.

Якщо вільних обслуговуючих одиниць у системі немає, виконується

перевірка, чи є вільні місця очікування в черзі. Якщо такі місця є заявка ставитися в чергу на обслуговування. Якщо черга повністю заповнена, моделюється один з можливих результатів події при повторному зверненні джерела в систему. З вірогідністю Н₂ джерело продовжуватиме повторні звернення і переходить в групу джерел повторних заявок. У цьому випадку моделюється момент часу, в який від джерела надійде повторна заявка.

З імовірністю 1 -Н₂ джерело відмовляється від повторних спроб і повертається в групу джерел, що перебувають у вільному стані. У цьому випадку моделюється момент часу, коли від джерела надійде нова первинна заявка. Для цього до поточного моменту часу t додається тривалість інтервалу часу, по закінченню якого від L- того джерела k - тій пріоритету надійде заявка

Подія 3. Подія 3 полягає у звільненні обслуговуючої одиниці. Для моделювання цієї події, поточний час змінюється на Δt на кожному кроці за часом. На кожному кроці за часом продивляються обслуговуючі одиниці системи. Якщо поточний час перевищує значення моменту часу, коли має звільнитися обслуговуюча одиниця - моделюється звільнення обслуговуючої одиниці. Для цього моделюється момент часу надходження заявки від джерела, який знаходився на обслуговуванні і знову став вільним. Далі заявки знаходяться в черзі, упорядковуються за класами пріоритетів. Після цього сортування заявки в черзі відсортовані за класами пріоритетів, а в кожному класі - по моментах надходження в чергу. Перша заявка в черзі ставитися на обслуговування на звільнену обслуговуючу одиницю, для цього моделюється момент часу закінчення обслуговування заявки. Всі заявки в черзі зсуваються на одну позицію вперед.

Подія 4. При моделювання події 4 для кожного абонента у черзі здійснюється превірка умови підвищення класу його пріоритету.

з масиву вибирається значення номеру місця у черзі, в якому знаходиться абонент, що змінює клас пріоритету. Якщо у четвертому елементі стовпця записане значення, яке більше одиниці, то це значення зменшується (клас пріоритету підвищується).

Подія 5. При моделювання події 5 з масиву вибирається значення номеру місця у черзі, в якому знаходиться абонент, що змінює клас пріоритету. Зі стовпця вибираються значення номера класу пріоритету та номера джерела у класі пріоритету. Крім того до комірки масиву заноситься значення моменту часу, коли від абонента надійде наступне первинне замовлення. Якщо абонент, який виходить з черги, знаходився не на останньому місці, всі заповнені стовпці черги зміщуються на одну позицію вперед. Після цьому елементам останнього заповненого стовпця черги привласнюється значення нуль, а покажчик кількості зайнятих місць у черзі зменшується на одиницю.

Показники якості функціонування системи

- ймовірність відмови первинному замовленню(розраховується для всіх абонентів системи та по класам пріоритетів);

- ймовірність відмові повторному замовленню (розраховується для всіх абонентів системи та по класам пріоритетів);

- ймовірність явної втрати замовлення(розраховується для всіх абонентів системи та по класам пріоритетів);

- ймовірність потрапляння до черги(розраховується для всіх абонентів системи та по класам пріоритетів);

- ймовірність перебування у черзі зверх допустимого часу (розраховується для всіх абонентів системи та по класам пріоритетів);

- середня кількість повторних джерел замовлень (розраховується для всіх абонентів системи та по класам пріоритетів);

- середня кількість зайнятих місць очікування у черзі;

- середня кількість джерел замовлень кожного класу пріоритету у черзі;

- середня кількість зайнятих одиниць обслуговування системи(середнє навантаження системи);

- середня кількість джерел кожного класу пріоритету у черзі.