Аналог критерия Михайлова
Для устойчивости линейной импульсной АСУ m-го
порядка необходимо и достаточно, чтобы изменение |
||||||||||
аргумента функции D(e j T ) |
при изменении частоты ω |
|||||||||
от 0 до π/T равнялось бы значению mπ , то есть |
|
|||||||||
arg D(e j T ) |
= mπ , 0 ≤ ω ≤ π/T. |
|
|
|
|
|
||||
Здесь D(e j T ) |
получается путем замены z на e j в |
|||||||||
характеристическом полиноме замкнутой АСУ |
j |
|||||||||
D(z) a |
|
zm a zm 1 ... a |
|
z a |
|
|
z =e |
|||
0 |
m 1 |
m |
, |
. |
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
На рис. аналоги кривых Михайлова для
устойчивой и неустойчивой импульсной АСУ при m = 3.
Аналог критерия Найквиста
Если разомкнутая АСУ устойчива, то для устойчивости замкнутой АСУ требуется, чтобы АФЧХ
разомкнутой АСУ- Wр ( e j ) не охватывала точку с координатами (−1, j0 ).
Для устойчивости замкнутой АСУ при неустойчивой разомкнутой цепи требуется,
чтобы АФЧХ разомкнутой цепи охватывала точку (−1, j0) на угол pπ, где p-число полюсов
разомкнутой цепи,
вне единичного круга z = e j .
На рис. АФЧХ устойчивых импульсных АСУ.
Точность импульсных АСУ
Установившаяся ошибка импульсной АСУ опреде- |
|
ляется по предельному значению решетчатой |
|
функции: |
|
( ) lim [n] lim z 1 E(z) g ( ) f ( ) |
|
n |
z |
z 1
z esT |
|
в уст. |
s 0 |
z 1 |
|
режиме |
|||||
|
|
|
|
Установившиеся ошибки
( ) {
установившаяся ошибка пропорциональна величине задающего воздействия и периоду дискретности.
Астатизм АСУ
Представим передаточную функцию импульсной разомкнутой АСУ
при r = 0 АСУ статическая,
при r = 1 - астатическая первого порядка и т.д., и
W(1)→ ∞.
( ) 0 от задающего воздействия, если |
||||
степень астатизма r |
|
( ) 0, если k r; |
||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
превышает степень |
|
|
g T k |
|
|
|
|||
|
|
|||
|
|
|||
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
воздействия. |
|
( ) W (1) , если k r |
||
|
||||
полинома k входного |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
( ) , если k r.
Сигнал ошибки при
непрерывном входном сигнале
[nT ] C0 g[nT ] |
C1 |
|
g '[nT ] |
C2 |
|
g"[nT ] .... |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
Ck |
|
|
1! |
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
g |
( k ) |
[nT ], |
|
|
|
|
g[nT ] g(t) |
|
t nT |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
k! |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где С0 , С1 , С2 ,...Сk |
коэффициенты ошибок. |
|
|
|||||||||||||
C0 |
E(1); |
|
|
|
|
|
E(k ) (1) |
d |
(k ) |
E(z) |
|
|
||||
C1 |
T * E' (1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
dz |
k |
|
z 1 |
|||||||
C2 |
T 2[E" (1) E' (1)]; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
C3 |
T 3 E'" (1) 3E" (1) E' (1) . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Сигнал ошибки при
дискретном входном сигнале
[nT ] C0 g[nT ] C1!1 g[nT ] C2!2 2 g[nT ] ....
Ck!k k g[nT ],
где |
|
С ; |
|
|
C1 |
|
; |
|
C2 |
|
|
;... |
C |
C |
T |
C |
T |
2 |
|||||||
0 |
0 |
1 |
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
Ck Ck T k .
Переходные процессы в
импульсных АСУ
определяются с помощью :
•обратного z-преобразования,
•ряда Лорана,
•решения разностного уравнения,
•частотных методов, основанных на использовании ВЧХ или МЧХ замкнутой АСУ.
Обратное z-преобразование
Для расчета переходного процесса можно найти
обратное z-преобразование изображения выходной |
||||||||
величины АСУ y[n] Z 1 |
Y(z) ,используя формулу |
|||||||
обращения, согласно которой |
k |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
y[n] Re sY (z)zn 1 |
z zi |
||
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
где zi - полюсы выражения Y(z); i = 1, 2, ..., k. |
||||||||
Вычет в простом полюсе: |
|
|
||||||
Re sY (z)zn 1 lim(z z )Y(z)zn 1 |
|
|
||||||
|
|
|
i |
|
|
|
в полюсе кратности r: |
|
|
|
z zi |
|
d r 1 |
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|||
Re sY (z)zn 1 |
|
lim |
[(z zi )rY(z)zn 1] |
|||||
(r 1)! |
|
|||||||
|
|
|
dtr 1 |
|
|
|||
z zi
Из определения z-преобразования:
|
|
Y (z) y[nT] z n Y (0) Y (T )z 1 Y (2T )z 2 ...Y[nT]z n |
|
n 0 |
|
Y (z) B(z) |
– дробно-рациональная функция. |
A(z) |
|
m
Y[nT ]
k 1
где zk m
Az' (z)
B(zk ) |
zm 1 |
, |
|
Az' (zk ) |
|
||
k |
|
- для простых полюсов zi. |
корни характеристического уравнения A(z)=0;
общее количество корней;
производная полинома A(z) по z.