Передаточная функция ФЭ
На выходе ПИЭ ширина импульса : → 0; << T;
. Действие ПИЭ сводится к умножению отсчётов квантуемой функции x(t) на дельта- функцию δ(t-nТ). Форма импульса РИЭ определяет весовую функцию ФЭ - kФЭ(t). Поэтому, передаточную функцию ФЭ определим как изображение формы импульса по Лапласу, т.е.
WФЭ(s)=L {kФЭ(t)}.
ФЭ объединяется с непрерывной частью (НЧ) АСУ в приведенную непрерывную часть (ПНЧ), передаточная функция которой
WПНЧ(s) = WФЭ(s)*WНЧ(s).
В большинстве случаев РИЭ формирует прямоугольные импульсы длительности Tимп = γТ= ,
т.е. весовая функция ФЭ имеет вид: Kфэ(t)
k
В этом случае передаточная функция ФЭ:
WФЭ(s)
Отсюда: |
экстраполятор нулевого |
WФЭ(s) |
||
порядка. |
экстраполятора |
|
||
определяется порядком |
от |
|||
производной |
||||
формы |
импульса на интервале |
|
||
|
|
|
||
Передаточные функции типовых
импульсов
• |
Треугольный импульс |
|
|
x(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
(1 e |
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
W (s) 2A |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
фэ |
|
|
|
s2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Синусоидальный импульс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T x(t) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
W (s) AT |
|
|
|
(1 es ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
фэ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
• |
|
|
|
|
|
[s T |
( |
) |
|
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T t |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Экспоненциальный импульс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
W (s) |
|
|
|
AT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
фэ |
sT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение передаточной
функции Wпнч(s)
Рассмотрим при наличии формирователя прямоугольных |
|
|||||||||
импульсов: |
ФЭ |
|
НЧ |
НЧ |
|
(1 |
e s ) |
W (s) |
|
|
пнч |
|
(s)= |
нч |
. |
||||||
W (s)= W |
(s)*W |
(s) |
W |
|
|
|
s |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переходя от непрерывного преобразования Лапласа |
|
|
||||||||
к z-преобразованию: Wпнч(z)= (1 |
|
|
W (s) |
|
|
|||||
|
нч |
|
|
|||||||
z 1) Z |
s |
|
. |
|
||||||
|
|
W (s) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
нч |
|
|
|
|
|
|
||
Выражение |
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
необходимо представить как сумму элементарных дробей
(например, по теореме разложения, используя метод неопределенных коэффициентов ), а затем выполнить z- преобразование каждой из дробей (справочник).
Теорема разложения
W (s) QR((ss))
A |
q |
B |
r |
C j Dj s |
|||||
|
i |
|
k |
|
|
|
|
|
|
si |
T s 1 |
|
T 2 s2 |
2 T |
s 1 |
||||
i 1 |
k 1 |
k |
j 1 |
j |
j |
|
|
||
Ai , Bk ,C j , Dj |
- коэффициенты разложения, |
|
определяются: |
•методом неопределенных коэффициентов;
•методом предельных значений;
•методом подстановки численных значений.
Тренировочное задание
Пример. Определить дискретную передаточную функцию импульсной АСУ, у которой ИЭ формирует прямоугольные импульсы длительности = 1с периодом дискретности T=1 c, а непрерывная часть
задана передаточной функцией:
Р е ш е н и е
Дискретную передаточную функцию разомкнутой импульсной системы находим, представляя дробь
W (s) |
|
в виде суммы элементарных дробей: |
|||||||||||||||||||
|
нч |
|
|||||||||||||||||||
|
s |
|
|
|
|
k |
|
|
A |
|
|
A |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
W (s) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
нч |
= |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
s |
|
s2 (T s 1) |
s |
|
s2 |
T s 1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( AT B )s2 |
( A A T )s A |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
2 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s2 (T s 1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s0 A |
k, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 kT1 , |
|||
|
|
|
|
|
|
s1 A A T 0, |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
B1 kT12 . |
||||
|
|
|
|
|
|
s2 A1T1 B1 0. |
|
|
|
|
|||||||||||
С помощью таблицы соответствий найдем z-преобразование для каждого из слагаемых в правой части полученного выражения:
W (s) |
|
Tz |
|
|
T z |
|||
z |
нч |
|
k |
|
|
|
1 |
|
s |
z 1 |
2 |
z 1 |
|||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W (z) |
z |
1 |
z |
|
W (s) |
|
W (z) |
|
|
|
|
нч |
|||||
z |
|
|
|
|
||||
пнч |
|
|
|
s |
р |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
T1 z |
|
|
при форми- |
|
|
|
|
|||
|
T |
|
|
ровании |
|
|
|
|
|||
|
z e T1 |
|
прямоугольных |
||
импульсов:
Структурные схемы и передаточные
функции замкнутых дискретных АСУ
ПНЧ
Изображение РФ - y[n] 
Y(z) = W(z) X(z)
W(z) = Z{WФЭ(s)W1(s)W2(s)}.
Уравнение z-изображения рассогласования:
Тогда z-изображение выходной координаты:
Y(z) = {W(z) /[1+ W(z) ]}G(z)
Передаточная функция замкнутой АСУ
W (z) |
y(z) |
|
|
|
|
Wпр (z) |
|
|
Wфэ (z)Wнч.пр(z) |
|
||||||||
x(z) |
|
|
|
|
|
|
|
(z) |
|
|
||||||||
|
|
1 W р |
|
1 Wфэ (z)Wнч.р(z) |
|
|||||||||||||
|
|
|
z 1 |
|
|
W |
(s) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
пнч.пр |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
||||
|
|
z |
1 |
|
|
W (s) |
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
Z |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
пнч.р |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|||