Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Методичка к системе MATLAB

.pdf
Скачиваний:
178
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
488.5 Кб
Скачать

21

В Control System Toolbox и меется ти п д анны х, опред еляющ и х д и нами ческую си стему в пространстве состояни й. Си нтакси с команд ы , созд ающ и й непреры вную LTI (Linear Time Invariant)-си стему в ви д е ss-объекта c од ни м

вход ом и од ни м вы ход ом SS(A, B, C, D).

 

 

В

эту ф ункци ю в качестве параметров перед аются матри цы уравнени й

состояни й и вы ход ов ви д а

 

 

М

атри цу д и нами ки D буд ем счи татьв д анном случаенулевой.

Д ля вы полнени я работы могутпри меняться команд ы (Т абли ца3.).

 

 

 

Т абли ца3.

 

 

Си нтакси с

О пи сани е

 

 

 

 

 

 

 

 

ctrb(LTI-объект>)

Ф орми ровани ематри цы управляемости

 

 

 

ctrb(A, B)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

obsv(<LTI-объект>)

Ф орми ровани ематри цы наблюд аемости

 

 

 

obsv(A, C)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

parallel(<LTI1>,<LTI2>)

Параллельноесоед и нени е

 

 

 

 

 

 

 

 

series(<LTI1>,<LTI2>)

Послед овательноесоед и нени е

 

 

 

 

 

 

 

 

feedback(<LTI1>,<LTI2>)

Соед и нени еобратной свя зью

 

 

 

 

 

 

 

 

append( <LTI1>, … , <LTIN>)

О бъед и нени еси стем

 

 

 

 

 

 

 

 

connect(<sys>,<Con>,<in>,<out>)

У становлени есвя зей в соед и нени и

 

 

 

 

 

 

Д ля получени я результатов вы чи слени я матри ц, результи рующ ей си стемы , по структурной схеме, воспользуемся послед ни ми д вумя команд ами .

Ф ункци я append созд аетобъектsys, пред ставляющ и й собой объед и нени евсех под си стем. При этом первы й вход ной си гнал первой си стемы станови тся вход ом номер1, второй вход ной си гнал первой си стемы – номер2 и т.д ., д алее и д утвход ы второй си стемы и т.д .; аналоги чно опред еля ются и вы ход ы .

В ф ункци и

connect

– параметр <Con>

опред еля ет матри цу свя зей по

структурной

схеме. М

атри ца ф орми руется

по след ующ ему прави лу:

каж д ая

строка пред ставля ет собой од и н вход

си стемы

sys, первы й элемент – номер

вход а (в соответстви и

с поряд ком в команд е append), затем и д ут номера

вы ход ов,

которы е сумми руются

и

под аются

на рассматри ваемы й

вход .

Параметры

<in>, <out> – строки

и з номеров вход ов и вы ход ов соед и нени я ,

являющ и еся внеш ни ми .

Н апри мер, д ля послед овательного соед и нени я д вух си стем:

sys1= ss(A1, B1, C1, D1) sys2= ss(A2, B2, C2, D2) sys=append (sys1, sys2)

sysc=connect(sys, [2 1], [1], [2])

В этом случаенавход второй си стемы (общ и й вход номер2), поступаетвы ход первой (общ и й вы ход номер 1); вход первой си стемы (номер од и н) и вы ход второй си стемы (номерд ва) я вля ются внеш ни ми .

22

При мер10. Д аны три ли нейны естаци онарны еси стемы :

1.

; 2.

; 3.

;

и и меется структурная схемасоед и нени я си стем:

1. При вед ем си стему 3 кд ругому ви д у, д ля чего введ ем переменны е

;

и , под ставля я и х в и сход ны еуравнени я , получи м –

; ; .

2. Созд ад и м матри цы первой си стемы –

Созд авая аналоги чно матри цы д вух д руги х си стем, созд ад и м ss-объекты :

23

24

3. И сслед уем наблюд аемостьи управля емостькаж д ой си стемы , д ля чего построи м соответствующ и ематри цы и посчи таем и х ранги –

В и д но, что во всех случая х ранги матри ц управляемости и наблюд аемости совпад аютсразмерностями пространствасостояни й.

4. Получи м си стему, опред еляемую соед и нени ем.

 

25

 

 

Д ля корректного и спользовани я

ф ункци и

connect

введ ем д ополни тельную

си стему, перед аточная ф ункци я

которой

равна

1. Э кви валентная схема

при вед енанаРи с. 4.

 

 

 

Ри с. 4.

>>s4 = tf(1) Transfer function: 1

>>sys=append(s1,s2,s3,s4);

>>Q=[2 -4 5; 3 1 0; 4 2 0; 5 2 0];

>>in=[1 5];

>>out=[3 4];

>>s_com=connect(sys,Q, in,out);

О бращ ая ськд анны м объекта, мож но получи тьматри цы А , В , С:

>>A=s_com.A;

>>B=s_com.B;

>>C=s_com.C;

4. В ы чи сли м ранги матри цнаблюд аемости и управля емости и тоговой си стемы :

>>rank(ctrb(A,B)) ans =

6

>>rank(obsv(A,C)) ans =

6

Результаты показы вают, что д анная си стемауправля емаи наблюд аема. Задани е: и спользоватьод и ни з след ующ и х вари антов

№ №

У равнени я си стем

 

 

Схема

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

1.

2.

3.

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

1.

2.

3.

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

1.

2.

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

4

 

1.

2.

3.

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

2

 

1.

2.

3.

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

3

 

1.

2.

3.

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

1

 

1.

2.

3.

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

2

 

1.

2.

3.

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

5

 

1.

2.

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

6

 

1.

2.

 

3.

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

5

 

1.

2.

 

3.

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

7

 

1.

2.

 

3.

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

6

 

1.

2.

 

3.

 

 

 

 

 

 

 

14

 

 

 

 

8

 

1.

 

2.

3.

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

8

 

1.

 

2.

3.

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

9

 

1.

2.

 

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28

 

 

 

 

 

 

17

 

 

 

10

 

1.

2.

3.

 

 

 

 

 

 

18

 

 

 

8

 

1.

2.

 

 

 

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

Структурны есхемы квари антам

1.

2.

3.

4.

29

5.

6.

7.

8.

9.

10.

 

 

3.8. Уст ойчи в ост ьли нейны х си ст ем

 

Рассмотри м ли нейную стаци онарную си стему

.

Д опусти м, что

уд алось найти ф ункци ю

Л япунова: V(x)=xTQx, гд е Q

си мметри чная и полож и тельная опред еленная матри ца. Т огд а

О бозначи м

= – С (*), тогд а, поскольку С полож и тельно опред елена,

си стемааси мптоти чески устойчи вав целом. Болеетого, т.к.

30

 

 

,

матри ца

С

си мметри чна.

Н а практи ке целесообразно реш атьобратную зад ачу. В ы би рают какую-ли бо полож и тельно опред еленную полож и тельную матри цу, напри мер C = I. Т огд а мож но получи тьQ. Е сли квад рати чная ф ормаQ оказы вается неопред еленной

(знакопеременной), то по теореме

Л япунова

о

неустойчи вости начало

коорд и нат неустойчи во. Е сли

Q полож и тельно

опред елена, то поскольку

си стемали нейнаи стаци онарна,

начало коорд и натаси мптоти чески устойчи во в

целом.

О боснованность такого анали за зави си т от того, опред еля ет ли

уравнени е (*)

од нозначно матри цу

Q,

если

 

зад ана си мметри чная и

полож и тельная С .

 

 

 

 

 

Справед ли вы след ующ и еутверж д ени я :

 

 

 

 

Е сли n

собственны х значени й

λ1, …

, λn

матри цы

A таковы , что λij <0

(

), то и з уравнени я (*) при зад анной матри цеСматри цаQ опред еляется

од нозначно. (Д остаточноеуслови еустойчи вости матри цы А ).

Е сли матри цаА

устойчи ваи матри цаС полож и тельно опред елена, то матри ца

Q такж е полож и тельно опред елена.

(Н еобход и мое услови е устойчи вости

матри цы А ).

 

 

 

 

 

 

Си стемааси мптоти чески устойчи вав том и только том случае, если реш ени еГ,

являющ ееся (n×n)-матри цей, уравнени я Л япунова

Зд есь H – прои звольная

является

полож и тельно-опред еленной

матри цей.

полож и тельно-опред еленная си мметри чная

матри ца.

Д ля

опред еленности

матри цу H мож но полож и тьед и ни чной.

 

 

 

 

 

 

Д ля установлени я полож и тельной опред еленности

си мметри чной матри цы

Г

мож но воспользоваться

кри тери ем Си львестра:

i > 0

д ля

, гд е

i

ми норы

i-го

поряд ка

матри цы

Г.

Д ля

опред елени я

аси мптоти ческой

устойчи вости

ли нейны х

си стем

мож но воспользоваться кри тери ем Раусса-

Гурви ца.

Согласно этому кри тери ю, си стема я вляется

устойчи вой, если все

ми норы матри цы Гурви цабы ли полож и тельны . А си мптоти ческая устойчи вость опред еляется аналоги чно, только вместо матри цы A берется матри цаA+BL.

При мер11.

Пусть

зад ана си стема

управлени я ,

опи сы ваемая

конечно-разностны ми

уравнени я ми в пространствесостоя ни й

 

 

x(k+1)

= A(k) x(k) + B(k)

u(k), (

),

и и звестна

матри ца, опред еляющ ая законуправлени я u = Kx,.

1. Зад ад и м матри цы , опред еляющ и еси стему:

>> A=[1 2; -3 4] A =

1

2

-3

4

>> B= [1 2]' B =