1.2 Исследование системы на устойчивость по критерию Михайлова
Для оценки устойчивости по критерию Михайлова необходимо построить кривую, которую описывает конец вектора D(jw) на комплексной плоскости при изменении частоты w от 0 до бесконечности, называемую годографом Михайлова. Вектор D(jw) получаем из характеристического полинома замкнутой системы (8)
(10)
(11)
Используя ЭВМ, построим годограф Михайлова и проанализируем его.
Рисунок 3 - Годограф Михайлова
Для устойчивости системы необходимо, чтобы годограф Михайлова обошёл в положительном направлении (против часовой стрелки) последовательно n-квадрантов, нигде не обращаясь в нуль. В нашем случае годограф из первой четверти попадает во вторую, затем в третью и четвёртую, то есть он обходит четыре квадранта, а значит, система устойчивая.
1.3 Исследование системы на устойчивость по критерию Найквиста
Получим частотную передаточную функцию разомкнутой системы W(jw), для чего в выражение для передаточной функции разомкнутой системы подставляем p=jw
(12)
Преобразуя выражение (12) получим
,
(13)
где U1 и V1 – действительная и мнимая части частотной передаточной функции W(jw), равные
(14) (9)
(15)
(10)
(16)
(17)
Таблица 1 – Координаты АФЧХ
w |
u1(w) |
u2(w) |
v1(w) |
v2(w) |
U(w) |
V(w) |
|
0,1 |
3,61 |
-0,0055498 |
0 |
0,099942 |
-1,9996485 |
-36,009909 |
|
0,3 |
3,61 |
-0,0499362 |
0 |
0,298434 |
-1,9689463 |
-11,767018 |
|
0,6 |
3,61 |
-0,1995797 |
0 |
0,587472 |
-1,8716003 |
-5,5091419 |
|
0,9 |
3,61 |
-0,4484346 |
0 |
0,857718 |
-1,7281109 |
-3,3053465 |
|
1,2 |
3,61 |
-0,7956749 |
0 |
1,099776 |
-1,5588719 |
-2,1546613 |
|
Окончание таблицы 1
|
|||||||
1,5 |
3,61 |
-1,2401438 |
0 |
1,30425 |
-1,3821812 |
-1,4536298 |
|
1,8 |
3,61 |
-1,7803541 |
0 |
1,461744 |
-1,2112037 |
-0,9944481 |
|
2,1 |
3,61 |
-2,4144882 |
0 |
1,562862 |
-1,0536745 |
-0,6820277 |
|
2,4 |
3,61 |
-3,1403981 |
0 |
1,598208 |
-0,9130558 |
-0,4646713 |
|
2,7 |
3,61 |
-3,955605 |
0 |
1,558386 |
-0,7900103 |
-0,3112396 |
|
3 |
3,61 |
-4,8573 |
0 |
1,434 |
-0,6836275 |
-0,2018244 |
|
3,3 |
3,61 |
-5,8423434 |
0 |
1,215654 |
-0,5922604 |
-0,1232354 |
|
3,6 |
3,61 |
-6,9072653 |
0 |
0,893952 |
-0,5140281 |
-0,0665265 |
|
3,9 |
3,61 |
-8,048265 |
0 |
0,459498 |
-0,4470866 |
-0,0255254 |
|
4,2 |
3,61 |
-9,2612117 |
0 |
-0,097104 |
-0,389755 |
0,00408659 |
|
4,5 |
3,61 |
-10,541644 |
0 |
-0,78525 |
-0,3405616 |
0,02536853 |
|
4,8 |
3,61 |
-11,884769 |
0 |
-1,614336 |
-0,2982473 |
0,04051163 |
|
5,1 |
3,61 |
-13,285466 |
0 |
-2,593758 |
-0,2617487 |
0,05110193 |
|
5,4 |
3,61 |
-14,73828 |
0 |
-3,732912 |
-0,2301745 |
0,0582986 |
|
5,7 |
3,61 |
-16,23743 |
0 |
-5,041194 |
-0,2027799 |
0,06295655 |
|
6 |
3,61 |
-17,7768 |
0 |
-6,528 |
-0,1789431 |
0,06571151 |
|
6,3 |
3,61 |
-19,349947 |
0 |
-8,202726 |
-0,1581447 |
0,06703984 |
|
6,6 |
3,61 |
-20,950095 |
0 |
-10,074768 |
-0,1399497 |
0,06730091 |
|
6,9 |
3,61 |
-22,570139 |
0 |
-12,153522 |
-0,123993 |
0,0667675 |
|
7,2 |
3,61 |
-24,202644 |
0 |
-14,448384 |
-0,1099672 |
0,06564771 |
|
7,5 |
3,61 |
-25,839844 |
0 |
-16,96875 |
-0,0976123 |
0,06410096 |
|
7,8 |
3,61 |
-27,47364 |
0 |
-19,724016 |
-0,086708 |
0,06224982 |
|
8,1 |
3,61 |
-29,095607 |
0 |
-22,723578 |
-0,0770665 |
0,06018871 |
|
8,4 |
3,61 |
-30,696987 |
0 |
-25,976832 |
-0,0685277 |
0,05799043 |
|
8,7 |
3,61 |
-32,268691 |
0 |
-29,493174 |
-0,0609539 |
0,0557111 |
|
9 |
3,61 |
-33,8013 |
0 |
-33,282 |
-0,054227 |
0,05339391 |
|
9,3 |
3,61 |
-35,285066 |
0 |
-37,352706 |
-0,0482449 |
0,05107196 |
|
9,6 |
3,61 |
-36,709908 |
0 |
-41,714688 |
-0,0429191 |
0,04877042 |
|
9,9 |
3,61 |
-38,065418 |
0 |
-46,377342 |
-0,0381729 |
0,04650831 |
|
10,2 |
3,61 |
-39,340853 |
0 |
-51,350064 |
-0,0339394 |
0,04429975 |
|
11 |
3,61 |
-42,2653 |
0 |
-66,198 |
-0,0247349 |
0,03874096 |
|
11,8 |
3,61 |
-44,318978 |
0 |
-83,495856 |
-0,0179047 |
0,033732 |
|
12,6 |
3,61 |
-45,263746 |
0 |
-103,42181 |
-0,012821 |
0,02929434 |
|
13,4 |
3,61 |
-44,844751 |
0 |
-126,15403 |
-0,009031 |
0,02540549 |
|
14,2 |
3,61 |
-42,790428 |
0 |
-151,8707 |
-0,0062048 |
0,02202198 |
|
15 |
3,61 |
-38,8125 |
0 |
-180,75 |
-0,0040996 |
0,01909202 |
|
15,8 |
3,61 |
-32,60598 |
0 |
-212,9701 |
-0,0025357 |
0,01656251 |
|
16,6 |
3,61 |
-23,849167 |
0 |
-248,70917 |
-0,0013792 |
0,01438269 |
|
17,4 |
3,61 |
-12,20365 |
0 |
-288,14539 |
-0,0005297 |
0,01250597 |
|
18,2 |
3,61 |
2,68569392 |
0 |
-331,45694 |
8,8243E-05 |
0,01089059 |
|
19 |
3,61 |
21,1907 |
0 |
-378,822 |
0,0005314 |
0,00949982 |
|
20,6 |
3,61 |
70,6185963 |
0 |
-486,42533 |
0,0010552 |
0,0072683 |
|
21,4 |
3,61 |
102,368715 |
0 |
-547,01995 |
0,00119322 |
0,0063761 |
|
23 |
3,61 |
182,1347 |
0 |
-682,686 |
0,00131703 |
0,00493656 |
|
24,6 |
3,61 |
286,707864 |
0 |
-838,84229 |
0,00131705 |
0,0038534 |
|
25,4 |
3,61 |
349,529624 |
0 |
-925,04971 |
0,00129033 |
0,00341494 |
|
26,2 |
3,61 |
420,065585 |
0 |
-1016,9142 |
0,00125266 |
0,00303251 |
|
27 |
3,61 |
498,8547 |
0 |
-1114,614 |
0,00120765 |
0,0026983 |
|
27,8 |
3,61 |
586,452632 |
0 |
-1218,3272 |
0,00115799 |
0,00240567 |
|
29,4 |
3,61 |
790,381156 |
0 |
-1444,5067 |
0,00105236 |
0,00192331 |
|
30,2 |
3,61 |
907,906635 |
0 |
-1567,3293 |
0,000999 |
0,00172459 |
|
Рисунок 4 – График АФЧХ разомкнутой системы
Согласно условию устойчивости по критерию Найквиста для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы не охватывала точку с координатами (-1,j0).
Для данной системы это условие выполняется, АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (-1,j0), следовательно, система устойчива.
АФЧХ данной системы пересекает вещественную ось в точке с координатами (-0.4;0) на частоте w=4.17 Гц.