Глава 20 физические основы квантовой электроники

20.1. Квантовые переходы и вероятности излучательных переходов

Общие сведения. В отличие от электронных приборов, в кото­рых для усиления или генерации электромагнитного поля исполь­зуется энергия свободных носителей зарядов, в квантовых прибо­рах используется, как правило, внутренняя энергия микрочастиц (энергия атомов, ионов, молекул)¹. При этом сами микрочастицы могут находиться в движении. Электроны, входящие в состав мик­рочастиц, называются связанными. Строгие математическое опи­сание и анализ работы квантовых приборов представляют собой чрезвычайно сложную задачу. Это связано, в частности, с тем, что при анализе квантовых устройств приходится рассматривать про­цессы, подчиняющиеся законам микромира. Поэтому в зависимо­сти от решаемой задачи используются различные приближенные модели и методы их описания.

Простейшей моделью, иллюстрирующей процессы излучения электромагнитного поля микрочастицами и резонансный харак­тер их взаимодействия с электромагнитным полем, является мо­дель, в которой излучение рассматривается как результат коле­баний электрона, удерживаемого около положения равновесия упругими силами. Более строгим и плодотворным является веро­ятностный метод описания процессов в ансамбле микрочастиц, используемый в данной главе. Вероятностный метод с успехом применяется, например, при анализе некоторых моделей кванто­вых усилителей. Однако важнейшие задачи, связанные с опреде­лением частоты и мощности квантовых генераторов, не могут быть решены в рамках вероятностных методов. Эти параметры могут быть найдены с помощью полуклассического метода. В полуклассической теории свойства рабоче­го вещества анализируются методами квантовой механики, а электромагнитное поле – законами классической электроди­намики. В § 22.1 полуклассический метод используется для определения частоты и мощности генерации лазера. Впервые этот метод был использован У.Лэмбом при разработке теории газового лазера.

Наиболее строгим методом анализа квантовых приборов является метод кван­товой электродинамики. Однако примене­ние этого метода связано со сложным математическим аппаратом и выходит за рамки данного курса. Впервые вероятностный метод анализа процесса взаимодействия ансамбля микрочастиц с элек­тромагнитным полем был проведен Эйнштейном.

Энергетические уровни и квантовые переходы. В соответ­ствии с законами квантовой механики внутренняя энергия изоли­рованной микрочастицы может принимать лишь дискретные зна­чения, называемые уровнями энергии. Совокупность различных разрешенных значений внутренней энергии микрочастицы опре­деляет систему уровней, показанную на рис. 20.1. Основой систе­мы являются электронные уровни (ЭУ), отстоящие друг от друга на 1...10эВ. Между электронными уровнями располагаются коле­бательные уровни (КУ) с расстоянием примерно 0,1 эВ, а между колебательными уровнями находятся вращательные уровни (ВУ) с интервалом 10^-3 эВ и менее. Названия групп уровней связаны с их происхождением: электронные уровни соответствуют энергии взаимодействия электронов с ядром; колебательные и враща­тельные уровни связаны с движением отдельных частей микро­частицы внутри самой микрочастицы и движением (вращением) частицы как целого. Уровень, соответствующий наименьшей до­пустимой энергии микрочастицы, называется основным, а ос­тальные – возбужденными.

Изменение внутренней энергии называется переходом с уров­ня на уровень. При переходе с более высокого энергетического уровня на низкий выделяется энергия =–, а при пе­реходе с низкого на более высокий поглощается такая же энергия. Переходы с излучением или поглощением квантов электромаг­нитного поля (фотонов) называются изпучательными. Энергети­ческие уровни, с которых запрещены излучательные переходы на более низкие уровни энергии, называются метастабильными. Энергия может отдаваться (или отбираться) микрочастицей и без участия электромагнитного поля при взаимодействии с дру­гой микрочастицей, в результате чего увеличивается или уменьшается кинетическая энергия второй частицы. Такие переходы называютсябезызлучательными.

Переходы, которые совершаются в системах микрочастиц, клас­сифицируются по различным признакам. Основными видами пере­ходов являются спонтанные, вынужденные и релаксационные.

Спонтанные переходы – самопроизвольные излучательные квантовые переходы из верхнего энергетического состояния в ни­жнее. Электромагнитное поле спонтанного излучения характери­зуется тремя параметрами: центральной частотой спектраль­ной пинии , спектральной плотностью излучения S() и мощно­стью излучения. Центральная частота излучения называется так­же частотой квантового перехода и частотой спектральной линии и определяется постулатом Бора:

(20.1)

где и – энергии верхнего и нижнего уровней соответственно; h – постоянная Планка.

Спектр спонтанного излучения будет проанализирован в § 20.2, здесь же лишь отметим, что ширина спектра спонтанного излуче­ния относительно велика, и спонтанное излучение должно рас­сматриваться как шумоподобный сигнал. Определим теперь мощ­ность спонтанного излучения. Здесь и в дальнейшем будем рас­сматривать процессы в единице объема вещества.

Пусть в рассматриваемом объеме содержится частиц с энергиейичастиц с энергией . Число частиц в единице объема с данной энергией называется населенностью уровня. Спонтанные переходы носят случайный характер и оцениваются вероятностью перехода в единицу времени , которая называ­ется коэффициентом Эйнштейна для спонтанных переходов. Ес­ли населенность уровня остается неизменной во времени (или изменяется незначительно), то число переходов в единицу време­ни с уровняна уровень составит

(20.2)

При каждом переходе выделяется энергия –= поэ­тому мощность излучения

(20.3)

Между коэффициентом Эйнштейна исредним временем жиз­ни частицы на уровне (время, за которое при отсутствии внешнего возбуждения населенность уровня падает в е раз) существует простая связь:

(20.4)

В системе частиц, имеющих несколько энергетических уров­ней, возможны спонтанные переходы частиц с данного уровня на нижние (рис. 20.2). Полная вероятность спон­танного перехода с уровня j на все нижние уровни i равна сумме вероятностей отдельных спонтан­ных переходов :

(20.5)

Уровни, для которых вероятность спонтанных пере­ходов очень мала, называют метастабильными.

Время жизни на уровне jв многоуровневой си­стеме определяется аналогично (20.4) с учетом (20.5):

(20.6)

Среднее время жизни на уровне составляет величину в преде­лах от единицы до сотен наносекунд. На метастабильных уровнях время жизни составляет миллисекунды.

Вынужденные переходы – это квантовые переходы частиц под действием внешнего электромагнитного поля, частота которо­го совпадает или близка к частоте перехода. При этом возможны переходы с верхнего уровня 2 на нижний 1 и с нижнего на верхний. В первом случае под действием внешнего электромагнитного поля с частотой происходит вынужденное испускание кванта энер­гии. Особенность вынужденного испускания состоит в том, что поя­вившийся фотон полностью идентичен фотону внешнего поля. Вы­нужденное излучение имеет такие же частоту, фазу, направление распространения и поляризацию, как и вынуждающее излучение. Поэтому вынужденное излучение увеличивает энергию электро­магнитного поля с частотой перехода . Это служит предпосыл­кой для создания квантовых усилителей и генераторов.

Следует отметить, что на вынужденный переход с излучением энергии не затрачивается энергия внешнего поля, которое являет­ся лишь своеобразным стимулятором процесса. В противополож­ность этому для перевода частицы из нижнего энергетического со­стояния 1 в верхнее 2 необходимо затратить энергию внешнего поля, равную разности энергии верхнего и нижнего уровней: –= . Таким образом, при каждом вынужденном переходе снизу вверх затрачивается квант энергии внешнего поля.

Вынужденные переходы (как и спонтанные) имеют статистичес­кий характер. Поэтому вводятся вероятностные коэффициенты: – вероятность вынужденного перехода сверху вниз и – снизу вверх в 1 с. Эти вероятности пропорциональны объемной плотности энергии внешнего поля в единичном спектральном интервале на частоте перехода и определяются соотношениями

(20.7)

где икоэффициенты Эйнштейна для вынужденных переходов с излучением и поглощением энергии соответственно.

Коэффициенты иимеют смысл вероятностей вынуж­денных переходов в 1 с при единичной объемной плотности энер­гии внешнего поля( = 1 Дж·см^-3 с ^-1).

Число вынужденных переходов сверху вниз с излучением энер­гии в единицу времени в единице объема пропорционально веро­ятности и населенности верхнего уровня, т.е. с учетом (20.7)

(20.8)

Аналогично при тех же условиях число вынужденных перехо­дов снизу вверх с поглощением энергии

(20.9)

Соотношения между коэффициентами Эйнштейна. Эйнштейн рассмотрел процессы в полости абсолютно черного тела, в которой находятся атомы газа. Со стенок, ограничивающих полость абсолют­но черного тела, происходит тепловое излучение электромагнитного поля, вследствие чего в полости устанавливается некоторая плот­ность энергии этого поля . Под действием этого поля атомы газа со­вершают вынужденные переходы; кроме того, происходят и спонтан­ные переходы. Эйнштейн рассмотрел состояние термодинамическо­го равновесия такой системы. Состоянием термодинамического рав­новесия называется такое, в которое она приходит будучи предостав­ленной сама себе. В этом состоянии плотность энергии электромаг­нитного поля в полости абсолютно черного тела, находящегося при температуре Т, определяется формулой Планка

(20.10)

Распределение атомов газа по уровням энергии в состоянии термо­динамического равновесия подчиняется закону Больцмана

(20.11)

При этом число излучательных переходов в единицу времени с верхних уровней на нижние должно равняться числу излучательных переходов с нижних уровней на верхние. Рассмотрим переходы ме­жду двумя уровнями и . С уровня совершаются спонтанные переходы с вероятностью в единицу времении вынужденные пе­реходы под действием поля излучения стенок полости с вероятно­стью= . Полное число переходов в единицу времени со второго на первый уровень будет

С первого уровня на второй будут совершаться только вынужден­ные переходы, число которых в единицу времени равно . В состоянии равновесия

(20.12)

Решим (20.12) относительно

(20.13)

С учетом (20.11) выражение (20.13) примет вид

(20.14)

Выражения (20.14) и (20.10) описывают одно и то же поле. Сравнив (20.14) и (20.10), получим, что они равны при условии

(20.15)

(20.16)

В приборах СВЧ-диапазона, работающих на «низкой» частоте, вероятность спонтанных переходов мала по сравнению с вероят­ностью вынужденных переходов и их роль невелика. В лазерах же, работающих на оптических частотах, пренебрегать спонтанными переходами нельзя.

Релаксационные переходы. Переход системы частиц в состо­яние термодинамического равновесия называется процессом ре­лаксации, а квантовые переходы, которые способствуют установ­лению и поддержанию термодинамического равновесия, называ­ются релаксационными переходами. В качестве примера, иллюст­рирующего релаксационные переходы, рассмотрим процессы в не­котором объеме газа. Как известно, молекулы газа находятся в теп­ловом хаотическом движении, причем средняя кинетическая энер­гия молекулы газа пропорциональна kT (k – постоянная Больцма­на, Т – абсолютная температура газа). В процессе теплового хаоти­ческого движения молекулы газа сталкиваются между собой. При этом сталкивающиеся частицы могут взаимодействовать между собой либо упруго, т.е. без изменения суммарной кинетической энергии сталкивающихся частиц, либо неупруго, когда часть кине­тической энергии одной частицы может перейти во внутреннюю энергию другой (или наоборот: внутренняя энергия одной частицы может перейти в кинетическую энергию другой). В состоянии тер­модинамического (теплового) равновесия температура газа и сум­марная кинетическая энергия всех частиц остаются неизменными. Неизменна и внутренняя энергия частиц, которая распределяется между уровнями по закону Больцмана (20.11).

Если нарушить равновесие, например резко увеличить тем­пературу газа до величины , то при новой температуре сред­няя кинетическая энергия молекул газа возрастет (станет про­порциональнаk), суммарная кинетическая энергия всех час­тиц газа возрастет, а внутренняя энергия частиц некоторое вре­мя будет оставаться неизменной. В результате неупругих соударений, при которых часть кинетической энергии молекул переходит во внутреннюю энергию частиц, произойдет ее увеличение так, что установится новое распределение частиц по энергиям. После установления нового равновесия внутренняя энергия рас­пределяется по закону Больцмана (20.11) при температуре. Постоянная времени установления процесса релаксации назы­ваетсявременем релаксации .

Релаксационные процессы происходят не только в газах, но и в твердых телах. Переход кинетической энергии одной частицы во внутреннюю энергию другой при неупругих столкновениях молекул газа является примером релаксационных переходов. Релаксаци­онные переходы носят статистический характер. Вероятности ре­лаксационных переходов между уровнями и будем обозна­чать, а обратных переходов. В большинстве случаев, име­ющих место в квантовых приборах, релаксационные переходы яв­ляются безызлучательными.

В состоянии термодинамического равновесия населенности уровней не изменяются во времени, поэтому число безызлучательных переходов с уровня 1 на уровень 2 в 1с равно числу обратных безызлучательных переходов с уровня 2 на уровень 1:

(20.17)

В состоянии термодинамического равновесия распределение населенностей определяется законом Больцмана (20.11). С уче­том (20.17) получаем

(20.18)

Из (20.18) следует, что вероятность безызлучательных пере­ходов сверху вниз больше, чем снизу вверх (>) в отличие от вероятностей вынужденных переходов, которые одинаковы. Если <<kT, что обычно справедливо для квантовых прибо­ров СВЧ-диапазона, то (20.18) можно заменить приближенным выражением

(20.19)