4.1 Построение взаимно перпендикулярных прямых общего положения
Известно, что если какая-либо прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в данной плоскости.
Значит, в общем случае для построения прямой, перпендикулярной заданной, надо построить плоскость, перпендикулярную заданной прямой, и взять в ней любую прямую.
Но при решении конкретных задач искомая прямая обычно должна быть единственной и при этом пересекаться с заданной (не скрещиваться!). Следовательно, для построения взаимно перпендикулярных прямых (рисунок 23), одна из которых (АВ) задана, а вторая (чтобы задача имела единственное решение) должна проходить через какую-либо определенную точку (М), надо выполнить следующее:
а) через заданную точку (М) провести плоскость, перпендикулярную заданной прямой (АВ). На рисунке 23 эта плоскость выражена фронталью MF и горизонталью МН;
б) найти точку встречи заданной прямой (АВ) с построенной плоскостью — точку К (точка К найдена проведением через прямую АВ вспомогательной фронтально проектирующей плоскости Р);
в) соединить заданную точку (М) с найденной точкой (К) прямой линией. Эта линия (МК) и будет искомой.
Рисунок 23
Для решения этой задачи можно применить и такой способ (рису-нок 24): через точку М провести фронталь (MF) плоскости Р, перпендикулярной заданной прямой АВ (т' - f' должна быть перпендикулярна а'b'); затем через след этой фронтали (точку 1) провести горизонтальный след плоскости Р (Рk ab); определить точку схода следов ( Рх) и провести фронтальный след плоскости Р ( Pv должен быть параллелен m'f' и перпендикулярен a'b'); найти точку встречи прямой АВ с перпендикулярной ей плоскостью Р — точку К. Прямая МК— искомая.
Рисунок 24
Для того чтобы проверить, перпендикулярны ли между собой две прямые, надо через какую-либо точку, взятую на одной из них, провести плоскость, перпендикулярную второй прямой. Если первая прямая окажется лежащей в построенной плоскости, значит, прямые перпендикулярны, если нет — прямые не перпендикулярны.
5 Построение взаимно перпендикулярных плоскостей
Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой.
Рисунок 25
Построение взаимно перпендикулярных плоскостей может быть осуществлено двумя способами:
1) искомая плоскость проводится через прямую, перпендикулярную заданной плоскости;
2) искомая плоскость проводится перпендикулярно прямой, лежащей в заданной плоскости.
На рисунке 25 через прямую АВ проведена плоскость, перпендикулярная плоскости треугольника СDЕ. Для этого из точки В прямой АВ восстановлен перпендикуляр (ВК) к плоскости треугольника CDE (b'k' c'f' и bk ch, где CF и СН — фронталь и горизонталь плоскости треугольника CDE). Плоскость, определяемая пересекающимися прямыми АВ и ВК, — искомая.
Рисунок 26
На рисунке 26 через точку К проведена плоскость S, перпендикулярная плоскости проекций Н и плоскости треугольника ABC. Чтобы было соблюдено первое условие (SH), искомая плоскость должна быть горизонтально проектирующей, а чтобы быть перпендикулярной плоскости треугольника ABC, она должна быть перпендикулярна одной из прямых, лежащих в плоскости треугольника ABC. Очевидно, этой прямой должна быть горизонталь плоскости. Поэтому вначале проведена горизонталь АН в плоскости треугольника А В С, а затем через точку К проведена горизонтально проектирующая плоскость S перпендикулярно к горизонтали АН. Плоскость S — искомая.
Следует иметь в виду, что у взаимно перпендикулярных плоскостей общего положения их одноименные следы никогда не перпендикулярны между собой.
Рисунок 27
На рисунке 27 изображены две плоскости общего положения Р и Q, одноименные следы которых взаимно перпендикулярны. Для того чтобы убедиться, что эти плоскости в пространстве не перпендикулярны друг другу, построена линия их пересечения (1—2), и из какой-либо точки (К) этой линии восстановлен перпендикуляр (КА) к одной из заданных плоскостей — плоскости Р. Если бы плоскости Р и Q были взаимно перпендикулярны, то перпендикуляр КА должен был бы находиться в плоскости Q, т. е. его следы (М и N) должны были бы лежать на следах плоскости Q. Но они не лежат на следах плоскости Q, следовательно, плоскости Р и Q не перпендикулярны между собой.
Рисунок 28
Если же одна из заданных плоскостей (или обе) являются плоскостями частного положения, то взаимная перпендикулярность на эпюре одной пары их следов свидетельствует о перпендикулярности плоскостей в пространстве.
Изображенные на рисунке 28 плоскости взаимно перпендикулярны (убедиться в этом можно, производя построения, аналогичные рассмотренным).