2.1 Построение линии пересечения двух плоскостей по точкам встречи прямых линий с плоскостью

Этот способ построения линии пересечения двух плоскостей заключается в нахождении точек пересечения двух каких-либо прямых, принадлежащих одной из пересекающихся плоскостей, с другой плоскостью (рисунок 13).

Одна из изображенных на рисунке 13 плоскостей задана треугольником ABC, а вторая — двумя параллельными прямыми е и f.

Рисунок 13

Линия пересечения этих плоскостей (линия КК₁) определена при помощи построения точек встречи прямых Е и F с плоскостью треугольника. Для этого через прямую Е проведена фронтально проектирующая плоскость (следы ее не указаны). Прямая 1—2 — линия пересечения плоскости треугольника со вспомогательной фронтально проектирующей плоскостью. Точка К — точка встречи прямой Е с плоскостью треугольника ABC. Точка К₁ найдена аналогично. Прямая КК₁ — искомая. Видимость на рисунке 13 определена из условия, что заданные плоскости ограничены треугольником и двумя параллельными прямыми, определяющими их.

3 Построение прямой и плоскости, параллельных между собой

Из элементарной геометрии известно, что если прямая линия параллельна какой-либо прямой, находящейся в плоскости, то она параллельна этой плоскости. Следовательно, для построения прямой, параллельной заданной плоскости, надо взять в этой плоскости какую-либо прямую и построить ей параллельную.

Рисунок 14

На рисунке 14 через точку К проведена прямая, параллельная плоскости Р. Для этого в плоскости Р взята произвольная прямая MN и проекции искомой прямой проведены параллельно одноименным проекциям прямой MN.

Рисунок 15

На рисунке 15 через точку С проведена прямая, параллельная плоскости, заданной параллельными прямыми Е и F, и параллельная плоскости проекций V. Для этого в заданной плоскости построена фронталь 1—2, и проекции искомой прямой проведены параллельно соответствующим проекциям этой фронтали.

Рисунок 16

На рисунке 16 решена обратная задача — через прямую ВС проведена плоскость, параллельная прямой L.

Плоскость, образованная пересекающимися прямыми ВС и CD, есть искомая, так как прямая CD проведена параллельно заданной прямой L.

4 Поcтроение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости

Из элементарной геометрии известно, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Рисунок 17

На рисунке 17 плоскость задана двумя пересекающи­мися прямыми АВ и ВС, причем прямая АВ является горизонталью этой плоскости, а ВС — фронталью. Проведя прямую MB так, чтобы ее фронтальная проекция (т'b') была перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали (с'b'), а горизонтальная проекция (mb) — к горизонтальной проекции горизонтали (ab), на основании свойств проекций прямого угла нетрудно сделать вывод, что прямая MB перпендикулярна к прямой АВ и к прямой ВС, т. е. перпендикулярна к плоскости, заданной этими прямыми.

Следовательно, горизонтальная проекция перпендикуляра к плоскости всегда перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция — к фронтальной проекции фронтали (профильная проекция перпендикуляра к плоскости перпендикулярна к профильной проекции профильной прямой этой плоскости) .

Этим свойством перпендикуляра к плоскости и пользуются при построении взаимно перпендикулярных прямой и плоскости.

Рисунок 18

На рисунке 18 из точки К опущен перпендикуляр на плоскость, заданную двумя параллельными прямыми Е и F, а на рисунке 19 — на плоскость, заданную треугольником ABC. И в первом, и во втором случаях в заданных плоскостях взяты горизонталь (1—2 на рисунке 18; А1 на рисуноке 19) и фронталь (3—4 и А 2) и из соответствующих проекций точки К проведены прямые. Одна из этих прямых перпендикулярна фронтальной проекции фронтали, а вторая — горизонтальной проекции горизонтали. Эти прямые и есть проекции искомого перпендикуляра.

Рисунок 19

Если же плоскость задана следами, то, учитывая, что фронтальная проекция любой фронтали в этой плоскости всегда параллельна фронтальному следу плоскости, а горизонтальная проекция любой горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости, легко видеть (рисунок 20), что проекции перпендикуляра к плоскости должны быть перпендикулярны соответствующим следам плоскости.

Рисунок 20 Рисунок 21

На рисунке 21 через точку А проведена плоскость, перпендикулярная прямой М. Искомая плоскость выражена двумя пересекающимися прямыми, одна из которых (АВ) является фронталью искомой плоскости (фронтальная проекция ее проведена перпендикулярно фронтальной проекции заданной прямой), а вторая (АС) ─ горизонталью искомой плоскости (горизонтальная проекция ее проведена перпендикулярно горизонтальной проекции заданной прямой).

Рисунок 22

На рисунке 22 решена аналогичная задача с той лишь разницей, что искомая плоскость выражена следами. Через заданную точку А проведена вначале горизонталь искомой плоскости (так, чтобы горизонтальная проекция ее была перпендикулярна горизонтальной проекции заданной прямой), затем найден ее фронтальный след (точка N), через фронтальную проекцию фронтального следа горизонтали проведен фронтальный след P_v искомой плоскости ( P_vm'), определена точка схода следов Р_х и из нее проведен горизонтальный след Р_н искомой плоскости (Р_{н } т или Р_н //ап).