Системы счисления

Система счисления — это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются.

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счислениявес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа)не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счислениявес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая — 7 единиц, а третья — 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 ^. 10² + 5 ^. 10¹ + 7 ^. 10⁰ + 7 ^. 10^—1 = 757,7.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основаниемqозначает сокращенную запись выражения

a_n-1 q^n-1 + a_n-2 q^n-2 + ... + a₁ q¹ + a₀ q⁰ + a_-1 q^-1 + ... + a_-m q^-m,

где  a_i  — цифры системы счисления;   n и m — число целых и дробных разрядов, соответственно.

В позиционной системе счисления любое число может быть представлено, как:

где: n - количество целых цифр (целая часть);

m - количество знаков после запятой;

[ , ] – десятичная часть;

d – цифра (значение числа).

В позиционных системах счисления под величиной числа понимается значение следующего полинома:

где: b – основание системы счисления;

d_i – цифра данного разряда числа: <b;

n – число цифр (знаков) целой части;

m – число цифр (знаков) дробной части.

Пример: число 321,7₁₀=N

N = 3- значение числа

- значение всех цифр подразумевается только в десятичной форме.

b<16 (2-я, 8-я, 16-я системы счисления; но существуют ещё и 5-я, 3-я, 7-я системы счисления).

Соотношение между числами в системах счисления, используемых в эвм.

10-я система счисления	2-я система счисления	8-я система счисления	16-я система счисления
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15	0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111	0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 А B C D E F

Отечест-венное обозначение	Десятичная система счисления	X10
	Двоичная система счисления	X2
	Восьмеричная система счисления	X8
	Шестнадцатеричная система счисления	AI16
Междуна-родное обозначение	Десятичная система счисления	D
	Двоичная система счисления	B
	Восьмеричная система счисления	O
	Шестнадцатеричная система счисления	H

Если особо не обозначено (например, число 173,5 или 1101,01), то имеет место всегда десятичная система, все остальные обязательно должны именоваться.