4. Последовательность решений задач.

Решение каждой задачи начинается с построения оси проекций X, Y, Z с учетом заранее продуманной компоновки листа. В системе плоскостей проекций π₁/π₂ строим проекции исходных данных только тех элементов, которые необходимы для решения конкретной задачи (см. раздел 1).

4.1 Задача 1 (см. Приложение 1).

Основание пирамиды SАВС (треугольник АВС) спроецируется в натуральную величину, если в результате вращения вокруг линии уровня оно займет положение, параллельное одной из плоскостей проекций.

План решения.

1. Через одну вершину основания (треугольник АВС) провести линию уровня (горизонталь

или фронталь).

2. Через остальные вершины провести плоскости их вращения, перпендикулярные к оси

вращения.

3. Определить центры и радиусы вращения основания АВС.

4. Определить положение вершин основания АВС после поворота.

Построение на чертеже.

В нашем примере удобно определить натуральную величину плоскости основания (треугольника АВС) пирамиды SАВС путем вращения его вокруг горизонтали. Проводим через вершину С горизонталь h.

Через горизонтальные проекции вершин В и А проводим следы βπ₁ и απ₁ плоскости вращения β и α, перпендикулярные горизонтальной проекции h₁ горизонтали h. Пересечение горизонтальной проекции h₁ горизонтали и горизонтального следа απ₁ получим точку О – горизонтальную проекцию центра вращения точки В. Фронтальную проекцию О₂ центра вращения находим по принадлежности. Соединив одноименные проекции B₁O₁ и B₂O₂, получим фронтальную и горизонтальную проекции радиуса вращения точки В. Определяем натуральную величину радиуса вращения OB, для чего строим прямоугольный треугольник, одним из катетов которого является горизонтальная проекция B₁O₁ радиуса вращения, вторым – разность высот точек В и О над плоскостью проекции π₁. Гипотенуза O₁B₀ треугольника B₀B₁O₁ будет натуральной величиной радиуса вращения точки В.

При вращении треугольника АВС вокруг горизонтали h точки С и 1 останутся на месте (точка C₁ ≡ C₁' и точка 1₁ ≡ 1₁'). Для нахождения нового положения точки В отложим на горизонтальном следе απ₁ проекцию O₁B₁, равную натуральной величине радиуса вращения O₁B₀ = R. В этих условиях ось вращения h и точка В' расположатся в плоскости параллельной плоскости проекций π₁. Соединим прямой линией точки В₁' и 1₁'. В пересечении отрезка B₁'1₁' с горизонтальным следом βπ₁ плоскости вращения точки А определим искомую проекцию A₁' точки A'.

Соединив точки B₁', A₁', C₁', получим натуральную величину основания АВС пирамиды SABC. Фронтальная проекция основания АВС после поворота совпадет с фронтальной проекцией горизонтали h₁. На чертеже она отмечена отрезком A₂'C₂'B₂'.

4.2 Задача 2 (см. Приложение 2).

Чтобы искомое расстояние проецировалось на плоскость проекции (например, на плоскость проекции π₂) без искажения, надо плоскость треугольника АВС преобразовать в проецирующую плоскость (в нашем примере она преобразована во фронтально-проецирующую плоскость). В этом случае горизонталь плоскости треугольника АВС расположится перпендикулярно плоскости проекции π₂.

План решения.

1. Через одну вершину основания (треугольник АВС) провести линию уровня (горизонталь

или фронталь).

2. Плоскопараллельным перемещением перевести плоскость треугольника АВС в положение проецирующей плоскости. Вместе с треугольником АВС переместите вершину S пирамиды SABC.

3. В новом положении отпустить перпендикуляр из вершины S на плоскость треугольника АВС и найти его основание – K.

4. Плоскопараллельным перемещением возвратить проекции перпендикуляра к плоскости в исходное положение.

Построение на чертеже.

В нашем примере для решения задачи воспользуемся горизонталью плоскости. Через вершину А треугольника АВС проводим горизонталь h (h₁; h₂).

Справа на произвольном расстоянии от исходного построения проводим на плоскости построения π₁ прямую линию, перпендикулярную оси проекции Х. Из произвольно выбранной на этой прямой точки 1₁' откладываем горизонтальную проекцию отрезка A₁1₁ горизонтали плоскости h. Получим точку A₁'. Так как перемещение точек S, А, В и С происходит в плоскостях, параллельных горизонтальной плоскости проекций π₁, то взаимное расположение горизонтальных проекций этих точек сохранится и после перемещения: треугольник A₁'B₁'C₁' должен оставаться равным треугольнику A₁B₁C₁.

Для построения новой горизонтальной проекции B₁' точки В воспользуемся методом «засечек»:

• радиусом A₁B₁ из точки A₁' слева от прямой h₁' проводим дугу;

• радиусом B₁1₁ из точки 1₁' проводим вторую дугу до пересечения с первой;

• в месте пересечения дуг находим новое положение горизонтальной проекции B₁' точки В.

Горизонтальные проекции точек C 'и S ' точки С₁' и S₁' строятся аналогично точки В₁'.

Фронтальные проекции - точки S₂', С₂', A₂', В₂' и 1₂' находим на пересечении соответствующих линий связи и следов απ₂, βπ₂, γπ₂, επ₂ – горизонтальных плоскостей уровня α, β, γ, ε, в которых эти точки перемещаются. Следы απ₂, βπ₂, γπ₂, επ₂ должны располагаться параллельно оси проекции Х. Полученные точки S₂'; В₂'; A₂' ≡ 1₂'; С₂', принадлежащие вырожденной проекции треугольника АВС, который занял теперь положение фронтально-проецирующей плоскости, соединим прямой линией.

Из точки S₂' опустим перпендикуляр на вырожденную проекцию A₂'В₂'С₂' треугольника АВС. В пересечение получим точку K₂'. Отрезок S₂' K₂' – искомое расстояние. На чертеже проставляем его действительный размер (см. приложение 2).

Из точки K₂' проводим линию связи до пересечения с прямой, проведенной из точки S₁' перпендикулярно A₁'1₁' – получим точку K₁'. Отрезок S₁' K₁' является горизонтальной проекцией искомого перпендикуляра.

Так как длина отрезка S₁' K₁' при перемещении в первоначальное исходное положение не изменит своей величины, то положение точки K₁ можно найти двумя путями:

• используя метод «засечек», перенести точку в исходное положение;

• опустить из точки S₁ перпендикуляр на горизонтальную проекцию горизонтали h и отложить на нем от точки S₁ расстояние равное отрезку S₁' K₁'.

Полученную горизонтальную проекцию точки K₁ соединить прямой линией с точкой S₁. Фронтальную проекцию находим на пересечении линии связи со следом επ₂ плоскости перемещения точки К.