Уравнение прямой в параметрической форме

Если известна некоторая точка  , принадлежащая прямой, и направляющий вектор   этой прямой, то параметрические уравнения данной прямой задаются системой:

Параметр t может принимать любые значения от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности», и каждому значению параметра соответствует конкретная точка плоскости.

Пример

Составить параметрические уравнения прямой по точке   и направляющему вектору 

Решение:

Например, если  , то получаем точку  .

Пример

Составить параметрические уравнения прямой 

Решение: По условию прямая задана в общем виде. Для того чтобы составить параметрические уравнения прямой, нужно знать её направляющий вектор и какую-нибудь точку, принадлежащую данной прямой.

Найдём направляющий вектор: 

Теперь нужно найти какую-нибудь точку, принадлежащую прямой (подойдёт любая), в этих целях общее уравнение удобно переписать в виде уравнения с угловым коэффициентом:  

Возьмем точку 

Составим параметрические уравнения прямой:

Ответ: 

Взаимное расположение двух прямых

Рассмотрим две прямые плоскости, заданные уравнениями в общем виде:

Две прямые могут:

1) совпадать;

2) быть параллельными:  ;

3) пересекаться в единственной точке:  .

Две прямые совпадают, тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, то есть, существует такое число «лямбда», что выполняются равенства 

Пример. Рассмотрим прямые   и составим три уравнения из соответствующих коэффициентов:  . Из каждого уравнения следует, что  , следовательно, данные прямые совпадают.

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных   пропорциональны:  , но  .

Пример. Рассмотрим две прямые  . Проверяем пропорциональность соответствующих коэффициентов при переменных  :

Однако совершенно очевидно, что  .

Две прямые пересекаются, тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных   НЕ пропорциональны, то есть НЕ существует такого значения «лямбда», чтобы выполнялись равенства 

Пример. Для прямых   составим систему:

Из первого уравнения следует, что  , а из второго уравнения:  , значит система несовместна (решений нет). Таким образом, коэффициенты при переменных   не пропорциональны.

Пример

Выяснить взаимное расположение прямых:

Решение основано на исследовании направляющих векторов прямых:

а) Из уравнений   найдём направляющие векторы прямых:  .

Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов: , значит, векторы   не коллинеарны и прямые   пересекаются.

б) Найдем направляющие векторы прямых  :

Прямые имеют один и тот же направляющий вектор, значит, они либо параллельны, либо совпадают. Тут определитель считать не надо.

Очевидно, что коэффициенты при неизвестных   пропорциональны, при этом  .

Выясним, справедливо ли равенство  :

Таким образом, 

в) Найдем направляющие векторы прямых  :

Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов: , следовательно, направляющие векторы коллинеарны. Прямые либо параллельны либо совпадают.

Коэффициент пропорциональности «лямбда» можно узнать прямо соотношения коллинеарных направляющих векторов  .

Теперь выясним, справедливо ли равенство  . Оба свободных члена нулевые, поэтому:

Полученное значение   удовлетворяет данному уравнению (ему удовлетворяет вообще любое число).

Таким образом, прямые совпадают.

Ответ: