- •Лекция 1. Введение. Основные понятия, гипотезы и принципы. Расчётная схема сооружения. Виды нагрузок.
- •Лекция 2. Внутренние усилия. Метод сечений. Построение эпюр внутренних усилий в сечениях плоских стержней.
- •Лекция 3. Напряжённое состояние в точке. Тензор напряжений. Напряжения на наклонных площадках. Главные площадки и главные напряжения. Виды напряжённых состояний
- •Лекция 4. Деформированное состояние материала в точке. Тензор деформаций. Обобщённый закон Гука
- •Лекция 5. Удельная потенциальная энергия упругой деформации. Теории прочности. Расчёты на прочность
- •Лекция 6. Осевое растяжение-сжатие стержней. Определение напряжений, деформаций и перемещений. Расчёты на прочность и жёсткость.
- •Лекция 7. Экспериментальные исследования материалов при растяжении-сжатии. Диаграммы напряжений-деформаций. Влияние температуры и скорости нагружения. Понятие о наклёпе и ползучести.
- •Лекция 8. Статически неопределимые задачи при осевом растяжении-сжатии. Определение внутренних усилий и перемещений сечений. Расчёты на прочность и жёсткость.
- •Лекция 9. Понятие о различных методах расчёта сооружений на прочность. Расчёт стержней при растяжении-сжатии по предельной нагрузке
- •Расчет статически неопределимых стержневых систем при осевом растяжении-сжатии по предельной несущей способности
- •I. Раскрытие статической неопределимости задачи
- •II. Определение площади поперечного сечения
- •Расчет по предельной несущей способности
- •Лекция 10. Кручение прямых стержней круглого поперечного сечения. Определение усилий, напряжений и перемещений. Расчёты на прочность и жёсткость
- •Лекция 11. Понятие о кручении стержней некруглого поперечного сечения. Решение статически неопределимых задач. Расчёты стержней при кручении по предельному состоянию
- •Лекция 12. Геометрические характеристики плоских сечений. Моменты инерции простых фигур
- •Лекция 13. Моменты инерции сложных сечений. Главные оси инерции и главные моменты инерции. Формулы перехода
Лекция 12. Геометрические характеристики плоских сечений. Моменты инерции простых фигур
Основные понятия. П лощадь поперечного сечения является геометрической характеристикой, определяющей напряжение стержня при растяжении-сжатии. При других видах деформации (изгиб, кручение) стержня напряжение зависит от других геометрических характеристик сечения, более сложных.
Рассмотрим поперечное сечение произвольной формы. Назначим декартову систему координат. Выделим элементарную площадку dA. Обозначим расстояние от элементарной площадки до оси z через y, до оси y через z, до начала координат через ρ. Тогда геометрические характеристики поперечного сечения можно представить в виде момента площади
(12.1)
Площадь (А) – момент нулевого порядка . (12.2)
Статический момент площади (S) – момент первого порядка , могут быть положительными, отрицательными, равными нулю. Единицы измерения [см3], [м3]. С помощью статического момента площади определяют координаты центра тяжести сечения
yс=Sz/А, zс=Sy/А. (12.3)
Статический момент площади обращается в ноль относительно собственных центральных осей фигуры.
Оси, проходящие через центр тяжести фигуры, называются центральными. Их можно провести бесконечное множество.
Алгоритм определения координат центра тяжести заключается в следующем.
- разбить заданную фигуру на конечное число простых фигур, центры тяжести и площади которых легко находятся (прямоугольники, треугольники, окружности и т.п.);
- назначить вспомогательную систему координат z, y, рационально выбрать центральную систему координат одной из простых фигур;
- вычислить статические моменты инерции по формулам
Здесь - площади простых фигур, составляющих заданную, - координаты центров тяжести этих фигур в принятой вспомогательной системе координат;
- вычислить площадь заданной фигуры ;
- воспользоваться формулами (12.3) для определения искомых координат центра тяжести фигуры.
Если фигура симметричная, то центр тяжести расположен на оси симметрии. У фигур, имеющих несколько осей симметрии, центр тяжести находится в точке пересечения этих осей.
Момент инерции (I) - момент второго порядка. Различают осевые (Iz, Iy), центробежный (Izy) и полярный (Iρ) моменты инерции:
. (12.5)
Осевые моменты инерции (экваториальные моменты) относительно осей координат всегда положительны и отличны от нуля. Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным, равным нулю. Полярный момент инерции используется для сечений круглой формы, всегда положительный и отличный от нуля. Все моменты инерции измеряются в [см4], [м4].
Моменты инерции обладают следующими свойствами. Осевые и центробежный моменты инерции Iz, Iy, Izy являются независимыми геометрическими характеристиками, т.е. ни одна из них не может быть выражена через две другие. В противоположность этому, полярный момент инерции сечения относительно любой точки равен сумме двух осевых моментов инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей координат, пересекающихся в этой точке.
(12.6)
Отсюда следует, что если при неизменной фигуре исходную систему координат повернуть на любой угол и образовать новую систему координат , то справедливо выражение
. (12.7)
Т.е. при повороте координатных осей сумма осевых моментов инерции остаётся постоянной.
Моменты инерции простых фигур. Рассмотрим порядок вычисления моментов инерции таких фигур с помощью определённых интегралов (12.5).
Прямоугольник. Выделим элементарную полоску
Рассуждая аналогично можно получить
Следует отметить, что в обоих случаях в куб возводится та сторона, которая пересекается осью.
Треугольник. Для вычисления Iz выделим элементарную полоску высотой dy,
н о с переменной шириной by. Из подобия треугольников получим
Круг. Т.к. для круга вычислим предварительно полярный момент инерции .
Д ля этого выделим элементарную площадку в виде кольца.
При этом
ПРЯМОУГОЛЬНИК ПОЛУКРУГ РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
КРУГ ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК