Расчет статически неопределимых стержневых систем при осевом растяжении-сжатии по предельной несущей способности

Дано: ОВС – жесткий стержень,

стержень ВЕ: Е_ВЕ=2×10⁵МПа,

R=200МПа, σ_s,ВЕ=300МПа, k=1,5

и площадь поперечного сечения А;

стержень СD: Е_СD=1×10⁵МПа,

R=120МПа, σ_s,СD=180МПа, k=1,5

и площадь поперечного сечения 2А;

Требуется: определить площадь

поперечного сечения А из условия прочности,

найти значение нагрузки F_s из расчета

по предельной несущей способности и F_adm.

Решение

Под действием нагрузки стержень ВЕ растягивается, а стержень СD сжимается, стержень ОВС поворачивается по ходу часовой стрелки относительно точки О. Точка В переходит в точку В₁ по дуге окружности, но в связи с малостью деформаций и небольшой кривизной дуги будем считать, что перемещение точки В осуществляется вдоль оси стержня ВЕ и составляет удлинение стержня. Точка С переходит в точку С₁ по дуге окружности (радиус окружности ОС=ОС₁), пренебрегаем малостью кривизны и принимаем, что перемещение точки С в С₁ происходит по прямой (СС₁ ОС, СС₁ ОС₁). Разложим перемещение точки С на два составляющих: сначала точка С вдоль оси стержня СD попадает в С₂, это перемещение составляет абсолютную деформацию стержня. Далее С₂ по перпендикуляру перемещается в С₁. Выполним чертеж, иллюстрирующий перемещение системы.

О С=5м (египетский треугольник);

sinα=3/5=0,6;

cosα=4/5=0,8.

ΔОВВ₁ подобен ΔОСС₁

(по двум углам), тогда:

ВВ₁/ОВ=СС₁/ОС =>

=> ВВ₁=(ОВ×СС₁)/ОС,

ВВ₁=3СС₁/5,

Δl_ВЕ=0,6СС₁ (0).

I. Раскрытие статической неопределимости задачи

1. Рассмотрим статическую сторону задачи. Составим уравнения равновесия:

∑F_X=0; Н_О-R_Е+F=0 (1),

∑F_Y=0; V_О+R_D-2×4q=0 (2),

∑m_О=0; 1,5F+2×4q-4R_D-3R_Е=0 => 7,5F-4R_D-3R_Е=0 (3).

Уравнений статики – три, неизвестных опорных реакций – 4, тогда степень статической неопределимости n_st=4-3=1 – задача один раз статически неопределимая, т.е. требуется привлечь еще одно уравнение для раскрытия статической неопределимости.

2. Рассмотрим геометрическую сторону задачи. В случае изменения длин стержней ВЕ и СD, их абсолютные деформации составят: ВВ₁=Δl_ВЕ и СС₂=Δl_СD. Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔСС₂С₁, выразим гипотенузу СС₁ через катет СС₂: СС₁=СС₂/cosα=СС₂/0,8=Δl_СD/0,8. Воспользуемся предыдущими вычислениями (0) и получим связь между и Δl_ВЕ = 0,6СС₁=0,6Δl_СD/0,8=0,75Δl_СD, итак Δl_ВЕ=0,75Δl_СD (4).

3. Рассмотрим физическую сторону задачи. Абсолютная деформация стержней вызвана действием нагрузок, поэтому её можно представить в виде следующей зависимости: Δl=Nl/ЕA (5). Следует отметить, что N_ВЕ=R_Е, N_СD=R_D.

Подставим (5) в (4) и получим уравнения совместности деформаций.

Δl_ВЕ=(N_ВЕl_ВЕ)/(Е_ВЕA_ВЕ)=(R_Е×1)/(2×10⁸А),

Δl_СD=(N_СDl_СD)/(Е_СDA_СD)=(R_D×2)/(1×10⁸2А). (6)

Подставим (4) в (6) и получим (R_Е×1)/(2×10⁸А)=0,75(R_D×2)/(1×10⁸2А), сократим на площадь А, тогда выражение примет вид: R_Е=1,5R_D (7). Решая совместно (3) и (7) поучим R_Е=1058,8кН, R_D=705,9кН.

Статическая неопределимость задачи раскрыта, далее задача решается как статически определимая.