X1, x2, …, xn — неизвестные, которые надо определить. A11, a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1, b2, … bm — свободные члены

Решением СЛАУ — называется упорядоченная система чисел ( x₁, x₂, …, x_n ), при подстановке которых в систему все уравнения системы обращаются в верное равенство

Виды СЛАУ.

• Система называется совместной, если она имеет хотя бы 1 решение

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение

Совместная система называется неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений

• Система называется несовместной, если она не имеет решения

Матричная записать СЛАУ.

или A×X=B

, где А — это матрица системы, X — столбец неизвестных, а B — столбец свободных членов. Если к матрице приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.

Решение матрицы методом обратной матрицы.

Пусть система линейных алгебраических уравнений задана в матричной форме A×B=X, где определитель не равен 0 Так как |A|≠0, то матрица А – обратима, то есть, существует обратная матрица А^-1. Если умножить обе части равенства A×X=B на А^-1 слева, то получим формулу для нахождения матрицы-столбца неизвестных переменных A^-1×A×X=A^-1×B↔X=A^-1×B. Так мы получили решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом.

Вопрос №8

Система линейных алгебраических уравнений(СЛАУ) называют систему m – уравнений с n – неизвестных

Теорема Крамера. Если в системе линейных уравнений с n неизвестными Δ≠0, то система имеет решение и притом единственное. Это решение задается формулами

Вопрос №9

Система линейных алгебраических уравнений(СЛАУ) называют систему m – уравнений с n – неизвестных

Метод Гаусса. — классический метод решения СЛАУ. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Вопрос №10

Система линейных алгебраических уравнений(СЛАУ) называют систему m – уравнений с n – неизвестных

Теорема Кронекера - Капелли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений.

Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

• Решением системы называется всякая совокупность чисел, которая, будучи подставленная в систему вместо неизвестных, обращает все уравнения в тождество,

• Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения

• Совместная система называется определенной, если она имеет одно решение, и неопределенной, если решений больше одного

Вопрос №11

Однородной системой линейных уравнений называется система вида:

Нулевое решение x=(0,...,0) системы (1) называется тривиальным решением.

Однородные системы всегда совместны, т.к. всегда существует тривиальное решение.

Если существует любое ненулевое решение системы, то оно называется нетривиальным.

Решения однородной системы обладают свойством линейности:

Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.

Вопрос №12

Комплексные числа — расширение поля вещественных чисел, обычно обозначается C. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма , где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица

Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r=|z| аргумент , то всякое комплексное число z , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:

где — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

Сравнение

означает, что и (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

Сложение

Вычитание

Умножение

Деление