Задание № 4

Двойственная задача линейного программирования

Задание - составить двойственную задачу по отношению к заданной прямой

Исходные данные

Целевая функция: Х₁ + 4Х₂ + 3Х₃ → min

Система ограничений:

• 2Х₁ + 1Х₂ + 3Х₃ ≥ 7

• -4 Х ₁ + 3Х₂ + 2Х₃ ≤ 9

• 1Х₁ + 2Х₂ – 1Х₃ ≥ 3

• 4Х₁ – 2Х₂ + Х₃ ≤ 4

Составление двойственной задачи

Каждой прямой задаче линейного программирования соответствует двойственная (обратная) по отношению к ней. Искомой величиной двойственной задачи является двойственная оценка, то есть двойственная задача обеспечивает расчет двойственных оценок. Двойственная задача строится по определенным правилам путем транспонирования или замещения матрицы прямой задачи по следующей схеме:

1. Каждому i-му ограничению из системы соответствует ассоциированная с ним переменная Y_i, а их количество будет равно количеству ограничений прямой задачи.

2. Каждой переменной x_i прямой задачи соответствует одно ограничение двойственной задачи. Количество ограничений двойственной задачи соответствует количеству переменных прямой.

3. Коэффициенты целевой функции двойственной задачи являются свободными членами прямой В_i, а свободные члены прямой задачи, становятся коэффициентами целевой функции двойственной C_j.

4. Коэффициенты при переменных строки матрицы в прямой задаче соответствуют коэффициентам при переменных в столбцах матрицы двойственной.

5. Направление оптимизации (max или min целевой функции) для двойственной задачи определяется в соответствии с направлением оптимизации в прямой задаче. В нашем случае прямая задача решается на min , следовательно, двойственная ей будет решаться на max.

Составим двойственную задачу относительно заданной.

Обе части неравенств умножаются на «-1» для приведения всей системы к одному типу ограничений:

• -2Х₁ – 1Х₂ – 3Х₃ ≤ -7

• -4 Х ₁ + 3Х₂ + 2Х₃ ≤ 9

• -Х₁ – 2Х₂ + Х₃ ≤ -3

• 4Х₁ – 2Х₂ + Х₃ ≤ 4

• Z = Х₁ + 4Х₂ + 3Х₃ → min

Затем система неравенств приводится к канонической форме:

• -2Х₁ – 1Х₂ – 3Х₃ + 1Х₄ + 0Х₅ + 0Х₆ + 0Х₇ = 7

• -4 Х ₁ + 3Х₂ + 2Х₃ + 0Х₄ + 1Х₅ + 0Х₆ + 0Х₇ = -9

• -1Х₁ – 2Х₂ + 1Х₃ + 0Х₄ + 0Х₅ + 1Х₆ + 0Х₇ = 3

• 4Х₁ – 2Х₂ + Х₃ + 0Х₄ + 0Х₅ + 0Х₆ + 1Х₇ = -4

• Z = Х₁ + 4Х₂ + 3Х₃ + 0Х₄ + 0Х₅ + 0Х₆ + 0Х₇ → min

Теперь систему можно транспонировать по вышеизложенной схеме:

• -2Y₁ – 4 Y₂ – Y₃ + 4 Y₄ ≥ 1

• -Y₁ + 3 Y₂ – 2Y₃ – 2 Y₄ ≥ 4

• -3Y₁ + 2 Y₂ + Y₃ + Y₄ ≥ 3

• Y₁ + 0 Y₂ + 0Y₃ + 0 Y₄ ≥ 0

• 0Y₁ + Y₂ + 0Y₃ + 0Y₄ ≥ 0

• 0Y₁ + 0Y₂ + Y₃ + 0Y₄ ≥ 0

• 0Y₁ + 0Y₂ + 0Y₃ + Y₄ ≥ 0

• Z = 7Y₁ – 9Y₂ + 3Y₃ – 4Y₄ → max

Избыточные переменные следует исключить из системы:

• -2Y₁ – 4 Y₂ – Y₃ + 4 Y₄ ≥ 1

• -Y₁ + 3 Y₂ – 2Y₃ – 2 Y₄ ≥ 4

• -3Y₁ + 2 Y₂ + Y₃ + Y₄ ≥ 3

• Y₁ ≥ 0

• Y₂ ≥ 0

• Y₃ ≥ 0

• Y₄ ≥ 0

• Z = 7Y₁ – 9Y₂ + 3Y₃ – 4Y₄ → max

Ограничения свидетельствуют о не отрицательности переменных, поэтому можно записать, что Y_i > 0.

• -2Y₁ – 4 Y₂ – Y₃ + 4 Y₄ ≥ 1

• -Y₁ + 3 Y₂ – 2Y₃ – 2 Y₄ ≥ 4

• -3Y₁ + 2 Y₂ + Y₃ + Y₄ ≥ 3

• Y₁,Y₂, Y₃, Y₄ ≥ 0

• Z = 7Y₁ – 9Y₂ + 3Y₃ – 4Y₄ → max

Полученная система неравенств и будет являться двойственной (обратной) задачей относительно предложенной прямой.