Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Пермская государственная сельскохозяйственная академия имени

академика Д.Н.Прянишникова»

Факультет землеустройства и кадастра

Кафедра земельного кадастра

Контрольная работа № 1

по дисциплине «Экономико-математические методы и моделирование»

по специальности 120303

«Городской кадастр»

Выполнил: студент гр. ГК- 41А

Т.С.Колесникова_____________

«___»__________________2012

Проверил преподаватель:

Д.Э.Сетуридзе ______________

«___»__________________2012

Пермь 2012

Задание № 1

Исходные данные.

Целевая функция: Z = 5Х₁ + Х₂

Система ограничений:

• 3Х₁ + Х₂ ≤ 18

• Х₁ + 3Х₂ ≥ 6

• 3Х₁ – 3Х₂ ≤ 3

• Х₁ ≥ 0

• Х₂ ≥ 0

Систему ограничений решаем графическим методом, так как количество переменных не больше 2 (Х₁, Х₂). Ограниченное количество переменных используемых в графическом методе связанно с отображением системы ограничений в двух мерной системе координат.

Поиск точек экстремума проведем по следующему алгоритму:

1. Задаем прямоугольную систему координат. По оси ординат (вертикально) откладываем значения Х₁, а по оси абсцисс (горизонтально) значения Х₂. Величину делений (масштаб осей координат) задаем в соответствии с заданными значениями.

2. Для решения задачи, неравенства (условно) записываются в виде уравнений:

• 3Х₁ + Х₂ = 18

• Х₁ + 3Х₂ = 6

• 3Х₁ – 3Х₂ = 3

• Х₁ = 0

• Х₂ = 0

3. В каждом из уравнений, переменные поочередно приравниваются к нулю и находятся их значения:

• 3Х₁ + Х₂ = 18

если Х₁=0, тогда Х₂=18

если Х₂=0, тогда Х₁=6

По значениям двух найденных точек (Х₁=6; Х₂=18) в заданной системе координат строится прямая. Ее называют граничной прямой. Каждая из точек находящихся на этой прямой будет удовлетворять условию данного уравнения. Определим, в какой из полуплоскостей, относительно граничной прямой, все точки удовлетворяют нашему неравенству. Возьмем 2 точки (E и K), которые расположены по разные стороны от граничной прямой.

Определим их координаты и подставим в первое неравенство. Областью допустимого значения для конкретного неравенства является та полуплоскость, относительно граничной прямой, координаты какой точки соответствуют условию неравенства.

Например, координаты т. Е (Х₁=2; Х₂=2), в неравенстве 3Х₁ + Х₂ ≤ 18 это соответствует 3·2 + 2 = 8; 8 < 18, условие выполняется. Координаты т. К (Х₁=6; Х₂=2), в данном неравенстве это соответствует 3·6 + 2 = 20; 20 > 18, условие не выполняется. Следовательно, ОДЗ для первого неравенства является полуплоскость, лежащая ниже от граничной прямой.

По аналогии проводим вычисления и для других уравнений:

• Х₁ + 3Х₂ = 6

если Х₁=0, тогда Х₂=2

если Х₂=0, тогда Х₁=6

ОДЗ – все точки полуплоскости, лежащей справа от граничной прямой и на самой прямой.

• 3Х₁ – 3Х₂ = 3

если Х₁=0, тогда Х₂= –1

если Х₂=0, тогда Х₁=1

ОДЗ – все точки полуплоскости, лежащей справа от граничной прямой и на самой прямой.

• Х₁ = 0

ОДЗ – все точки полуплоскости, лежащей выше оси абсцисс и на самой оси.

• Х₂ = 0

ОДЗ – все точки полуплоскости, лежащей справа оси ординат и на самой оси.

4. Далее на графике определяется ОДЗ для всех прямых, т.е. полуплоскости, все точки которых удовлетворяют заданным условиям. Общей областью допустимых значений является многоугольник, образующийся при совпадении ОДЗ всех прямых плана и удовлетворяющий общей системе ограничений. Все значения или точки, с соответствующими координатами, находящиеся в ОДЗ называются допустимыми или базисными. Решением может являться любая точка, лежащая в общей ОДЗ, включая и точки, лежащие на граничных прямых. Поэтому множество точек этого многоугольника представляют собой совокупность допустимых решений задачи.

5. Проверим результат: выберем точку М (Х₁=2; Х₂=10) и подставляем ее координаты в заданные уравнения нашей системы:

• 3Х₁ + Х₂ ≤ 18

3·2 + 10 ≤ 18

16 ≤ 18

• Х₁ + 3Х₂ ≥ 6

2 + 3·10 ≥ 6

32 ≥ 6

• 3Х₁ – 3Х₂ ≤ 3

3•2 – 3•10 ≤ 3

– 24 ≤ 3

• Х₁ ≥ 0

2 ≥ 0

• Х₂ ≥ 0

10 ≥ 0

Выбранная точка удовлетворяет всем условиям системы неравенств. Величина целевой функции при выбранных параметрах будет равна 5Х₁ + Х₂ = 20. Допустимых решений задачи множество, однако, алгоритм сводится к нахождению максимального и минимального значений.

6. Теорией линейного программирования доказано, что экстремальное значение целевой функции обязательно достигается на одной из вершин многоугольника. Экстремумы функции цели можно найти двумя способами:

а) можно отыскать последовательно перебирая варианты сочетания координат Х₁ и Х₂ на вершинах многоугольника и вычисляя по ним величину функции цели.

Точка А (Х₁ = 2,3; Х₂ = 1,3) Z = 5•2,3 + 1,3 = 12,8

Точка B (Х₁ = 4,7; Х₂ = 3,7) Z = 5•4,7 + 3,7 = 27,2

Точка C (Х₁ = 0; Х₂ = 18) Z = 5•0 + 18 = 18

Точка D (Х₁ = 0; Х₂ = 2) Z = 5•0 + 2 = 2

Максимальное значение Z = 27,2, значит т. В (Х₁ = 4,7; Х₂ = 3,7) является т. MAX, а минимальное значение Z = 2, значит т. D (Х₁ = 0; Х₂ = 2) является т. MIN.

б) графический способ – способ, при котором берется целевая функция и придается ей произвольное значение:

5Х₁ + Х₂ = 10

если Х₁=0, тогда Х₂= 10

если Х₂=0, тогда Х₁=2

Построим на графике прямую, соответствующую точкам Х₁=2 и Х₂= 10. Прямую, соответствующую целевой функции называют линией уровня. Будем передвигать эту прямую параллельно самой себе до тех пор, пока она не коснется крайних точек вершин многоугольника, точки максимума и минимума. Координаты вершин точек, полученных графическим способом должны соответствовать расчетным точкам экстремума.

Так, получаем что максимальное значение целевой функции находится в точке В (Х₁ = 4,7; Х₂ = 3,7), а минимальное в точке D (Х₁ = 0; Х₂ = 2).