Задание № 2

Решить симплексным способом.

Целевая функция: 12Х₁ + 27Х₂ + 6Х₃ → max

Система ограничений:

• 2Х₁ + 3Х₂ + 2Х₃ ≤ 12

• Х₁ + 3Х₂ + Х₃ ≤ 6

• 6Х₁ + 9Х₂ + 2Х₃ ≤ 24

• 4Х₁ – 2Х₂ + Х₃ ≤ 8

Алгоритм симплексного метода:

1. Приведение неравенств к канонической форме.

К канонической форме система неравенства приводится путем введения дополнительных переменных. Так как в нашем случае тип ограничения (знак) ≤, то дополнительная переменная вводится со знаком «+». В уравнение целевой функции так же вводятся дополнительные переменные. Оценка дополнительных переменных равна 0.

Система состоит из четырех уравнений с тремя неизвестными. После введения дополнительных переменных:

• 2Х₁ + 3Х₂ + 2Х₃ + S₁ = 12

• Х₁ + 3Х₂ + Х₃ + S₂ = 6

• 6Х₁ + 9Х₂ + 2Х₃ + S₃ = 24

• 4Х₁ – 2Х₂ + Х₃ + S₄ = 8

• 12Х₁ + 27Х₂ + 6Х₃ + 0S₁ + 0S₂ + 0S₃ + 0S₄ → max

2. Нахождение первого опорного (базисного) плана.

Базисным планом называют такое допустимое решение, в котором число положительных (не равных нулю) переменных не превосходит число ограничений, т.е. количество базисных переменных соответствует числу n–m (для нашего примера 7–4=3), где n – количество переменных, m – количество ограничений. Первый базисный план соответствует ситуации, когда переменные Х₁, Х₂, Х₃ = 0, тогда дополнительны переменные S₁, S₂, S₃, S₄ соответственно равны 12, 6, 24, 8. Это условие записывается в левую (базисную) часть первой симплексной таблицы. При этом оценки базисных переменных равны нулю. Каждая строка правой части первой симплексной таблицы соответствует одному из уравнений системы. В таблицу вносятся коэффициенты при соответствующих переменных обозначенных в столбцах таблицы. Обозначим эти коэффициенты – a_ij. Последняя строка – строка целевой функции (индексная или оценочная). Коэффициенты строки целевой функции записываются с обратным знаком, так как они рассчитываются по формуле: Z – C_J, где Z – показатель целевой функции, а C_J – оценка переменной.

3. Проверка плана на оптимальность

При решении задач на MAX функции цели, план оптимален тогда, когда в индексной строке отсутствуют отрицательные величины. Наличие в индексной строке отрицательных величин свидетельствует о необходимости улучшения плана. Строится новая симплексная таблица:

• Определяем главный столбец, показывающий какая переменная должна войти в базисный план. Целесообразно в план вводить те переменные, которые дают наибольшее улучшение функционала. В индексной строке выбирается наибольшее по абсолютной величине число, среди отрицательных.

• Определяем главную строку, чтобы определить, какую из базисных переменных вывести из плана и на ее место ввести новую переменную. Для этого необходимо выбрать минимальное положительное, не равное нулю, симплексное отношение.

Симплексное отношение – это отношение свободных членов (значений базисных переменных) на соответствующие коэффициенты главного столбца. При этом учитывают только положительные и неравные нулю отношения.

• На пересечении главного столбца и главной строки находится главный элемент.

Таблица 1 – первая симплексная таблица – первый опорный (базисный) план.

правая часть (базис)			левая часть
оценка	базисный план	значение базисной переменной	не базисные переменные								симплексное отношение
			основные			дополнительные
			Х1	Х2	Х3		S1	S2	S3	S4
0	S1	12	2	3	2		1	0	0	0		4,00
0	S2	6	1	3	1		0	1	0	0		2,00
0	S3	24	6	9	2		0	0	1	0		2,67
0	S4	8	4	-2	1		0	0	0	1		-4,00
	Z	0	-12	-27	-6		0	0	0	0

4. Последовательное улучшение плана до получения оптимального

Новый базисный план, то есть следующую симплексную таблицу начинают с заполнения столбца «Базисный план» и столбца «Оценка». Состав базисных переменных изменился, вместо дополнительной переменной S₂ в базисный план входит переменная Х₂. Оценка переменной Х₂ = 27.

Значения и коэффициенты последующей симплексной таблицы основаны на изменении коэффициентов предыдущей. Расчет начинается с определением коэффициентов главной строки, то есть строки, которая в предыдущем плане была главной.

• Новые коэффициенты главной строки рассчитываются делением старых значений на главный элемент.

• Коэффициенты главного столбца образуют нулевой вектор-столбец, поэтому коэффициенты бывшего главного столбца принимаются за 0, на месте главного элемента уже стоит единица (по расчету строки)

• Все остальные коэффициенты, включая коэффициенты индексной строки, рассчитываются по правилу прямоугольника:

a_ijн = a_ijс – a_ikc • a_jlc / a_lkc

За основу при построении прямоугольника берутся две вершины – главный элемент и старое значение коэффициента, образующие главную диагональ. Строится прямоугольник. Из соответствующего коэффициента старой таблицы (a_ijс) вычитают дробь, где в знаменателе находится главный элемент (a_lkc), а в числителе произведение незадействованных коэффициентов, стоящих в вершинах прямоугольника по вспомогательной диагонали (a_ikc • a_jlc).

Показатель значения целевой функции рассчитывается как сумма произведений оценок базисных переменных на их значение, но его можно рассчитать по правилу прямоугольника.

Таблица 2 – вторая симплексная таблица – улучшенный план

правая часть (базис)			левая часть
оценка	базисный план	значение базисной переменной	не базисные переменные								симплексное отношение
			основные			дополнительные
			Х1	Х2	Х3		S1	S2	S3	S4
0	S1	6	1	0	1		1	-1	0	0		6,00
27	Х2	2	0,33	1	0,33		0	0,33	0	0		6,00
0	S3	6	3	0	-1		0	-3	1	0		2,00
0	S4	12	4,67	0	1,67		0	0,67	0	1		2,57
	Z	54	-3	0	3		0	9	0	0

Новую симплексную таблицу проверяют на оптимальность через значения коэффициентов в индексной строке. В данном случае в индексной строке присутствует отрицательный коэффициент (Х₁= -3), что свидетельствует о возможности улучшения плана.

Процесс пересчета следующих таблиц по обозначенному алгоритму повторяют до тех пор, пока в индексной строке не будет выполнено формальное условие оптимальности, в данном случае отсутствие отрицательных коэффициентов.

Таблица 3 – третья симплексная таблица – оптимальный план

правая часть (базис)			левая часть
оценка	базисный план	значение базисной переменной	не базисные переменные								симплексное отношение
			основные			дополнительные
			Х1	Х2	Х3		S1	S2	S3	S4
0	S1	4	0	0	1,33		1	0	-0,33	0
27	Х2	1,33	0	1	0,44		0	0,67	-0,11	0
12	Х1	2	1	0	-0,33		0	-1	0,33	0
0	S4	2,67	0	0	3,22		0	5,33	-1,56	1
	Z	60	0	0	2		0	6	1	0

В третьей симплексной таблице в индексной строке отсутствуют отрицательные коэффициенты, следовательно, найдено оптимальное решение (максимум целевой функции).

В базисный план вошли следующие переменные с соответственными значениями: Х₁ = 2, Х₂ = 1,33, S₁ = 4, S₄ = 2,67. Показатель целевой функции Z = 60. Переменные, не вошедшие в план имеют нулевые значения, соответственно Х₃ = 0, S₂ = 0, S₃ = 0.

5. Проверка решения

Проверим решение, подставив в уравнения значения переменных вошедших в базисный план:

• 2Х₁ + 3Х₂ + 2Х₃ + S₁ = 12

• Х₁ + 3Х₂ + Х₃ + S₂ = 6

• 6Х₁ + 9Х₂ + 2Х₃ + S₃ = 24

• 4Х₁ – 2Х₂ + Х₃ + S₄ = 8

• 12Х₁ + 27Х₂ + 6Х₃ + 0S₁ + 0S₂ + 0S₃ + 0S₄ =60

• 2•2 + 3•1,33 + 2•0 + 4 = 12 12 = 12

• 2 + 3•1,33 + 0 + 0 = 6 6 = 6

• 6•2 + 9•1,33 + 2•0 + 0 = 24 24 = 24

• 4•2 – 2•1,33 + 0 + 2,67 = 8 8 = 8

• 12•2 + 27•1,33 + 6•0 + 0•4 + 0•0 + 0•0 + 0•2,67 = 60 60 = 60

Оптимальность плана доказана

ОТВЕТ:

Х₁ = 2 S₁ = 4

Х₂ = 1,33 S₂ = 0

Х₃ = 0 S₃ = 0

Z = 60 S₄ = 2,67