Геометрический метод решения
Решим задачу:
F=c1 X1+ c2 X2 max
при условии
ai1 X1+ ai2 X2 bi
Каждое неравенство определяет полуплоскость с граничными прямыми ai1 X1+ ai2 X2 = bi (i=1,…k) , а условия неотрицательности определяю положение области допустимых планов в первом квадранте. Если система ограничений совместна , то область решений есть множество точек, принадлежащих указанным полуплоскостям. Область допустимых решений лежит в многоугольнике, образованном ограничениями - неравенствами.Для пространства, когда параметров больше двух, многоугольник превращается в многогранник.. или в гипермногогранник. Поскольку целевая функция является функцией от x,y, то даже для двух варьируемых параметров задача становиться трехмерной.
Многогранник решений в задачах линейного программирования всегда выпуклый. Это значит, что между любыми двумя его точками можно провести прямую, не пересекающую его границу..Максимум ( минимум ) целевой функции всегда находится в вершинах многогранника решений, или на его грани, или на одной из ограничивающих его гиперплоскостей.
Задача линейного программирования сводится к поиску вершины, где целевая функция минимальна или максимальна.
Последовательность решений:
1. на координатной плоскости строят прямые, соответствующие границам неравенств;
2. отштриховывают соответствующие полуплоскости;
3. строят многоугольник ограничений;
4. строят прямую F(X1 , X2) =h (h-произвольное );
5. передвигают прямую параллельно себе в направлении, соответствущем увеличению или уменьшению h, до касания с крайней точкой многоугольника ограничений. Эта точка соответствует оптимальному плану.
6.
определяют значение параметров
оптимального плана, т.е. X
Геометрический метод работает при 2-3 переменных. При увеличении размерности в разумных пределах определяют все вершины n-мерного многогранника решений, вычисляют целевую функцию в этих вершинах, а потом сравнивают их путем полного перебора. Это метод полного перебора вершин.
СИМПЛЕКС - МЕТОД РЕШЕНИЯ
Симплекс - метод использует ту же идею, что и предыдущие методы (оптимальное решение находится в одной из вершин), но в нем
- просмотр вершин ведется по соседним вершинам;
- просмотр ведется таким образом, что значение целевой функции возрастает шаг за шагом ( для задач максимизации ),
Схема метода:
1. принимаем в качестве начального приближения координату любой вершины;
2. находим все ребра, выходящие из нее;
3. определяем "наклоны" всех ребер;
4. двигаемся вдоль того ребра, где целевая функция возрастает быстрее, и приходим в новую вершину;
5. далее процедура повторяется до прихода в максимальную вершину, движение из нее по любому ребру приводит к убыванию целевой функции.
Данный метод применяется:
1. для пространств любой размерности;
2. всегда дает оптимальное решение за n или 2n шагов;
3. оптимальное решение на выпуклом многограннике ограничений всегда
единственно.
Практически для решения задач используют готовые программы. Кроме поиска оптимального плана, эти пакеты программ позволяют произвести анализ решения:
определить в каких пределах могут меняться коэффициенты целевой функции, чтобы оптимальный план еще сохранялся;
оценить устойчивость оптимального плана к изменению коэффициентов и свободных членов системы уравнений - ограничений.
.