§ 7. Интерполирование Эрмита.

Пусть на промежутке заданы m точек . В каждой точке заданы значения функции и ее производных до порядка т.е для всех заданы . Таким образом, во всех точках будем иметь данных. Обозначим эту сумму через . Поставим следующую задачу: построить многочлен

(7.1)

степени не выше п, такой, чтобы в каждой точке выполнялись условия : (7.2)

Покажем, что такой многочлен существует и единственен.

Пусть на функция . Пусть мы построили многочлен , удовлетворяющий условиям (7.2). Условия (7.2) означают, что в каждой точке многочлен имеет с учетом кратности корней. Таким образом, этот многочлен имеет с учетом кратности всего корней. А многочлен степени п. Следовательно, . С другой стороны, условия (7.2) образуют однородную линейную алгебраическую систему относительно неизвестных , которая имеет только нулевое решение. Значит, любая неоднородная система, порожденная условиями (7.2), разрешима и ее решение единственно. Таким образом, для любой функции, имеющей все нужные производные, можно построить единственный многочлен (7.1), удовлетворяющий условиям (7.2). Этот многочлен называется многочленом Эрмита.

Рассмотрим вопрос о погрешности многочлена Эрмита. Обозначим погрешность в точке х через . Т.е.

(7.3)

Введем также обозначение

(7.4)

Теорема. Пусть имеет на непрерывную производную. Пусть все точки принадлежат промежутку и некоторая точка х, не совпадающая ни с одной из точек , тоже принадлежит промежутку . Тогда на промежутке существует точка , такая, что выполнено равенство

(7.5)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим вспомогательную функцию

(7.6)

Эта функция в точках имеет с учетом кратностей нулей. Кроме того, в точке х она тоже обращается в 0. Таким образом, она имеет, по крайней мере, нуля на . Пусть точка х лежит между точками и . Тогда производная имеет в точках нули кратности , т.е. всего нулей. Затем по теореме Ролля имеет, по крайней мере, по одному нулю между точками и , где , и . Кроме того, на промеутке имеет, по крайней мере, 2 нуля. Таким образом, функция имеет на промежутке , по крайней мере, нуль. Продолжая эти рассуждения, получаем, что - я производная имеет на промежутке , по крайней мере, 1 нуль. Обозначим точку, в которой обращается в 0, через . Таким, образом, . Теперь непосредственно продифференцируем (7.6).

.

Подставим в правую часть этого выражения и приравняем 0. Получим . 

Если имеет место оценка на , где М — некоторая положительная постоянная, то получаем оценку для погрешности интерполирования Эрмита

.

Интерполяционный многочлен Эрмита можно строить как многочлен в форме Ньютона с разностными отношениями, так как интерполирование можно Эрмита трактовать, как интерполирование с кратными узлами.

Будем считать, что узлы имеют кратности . Покажем, что в этом случае можно строить разностные отношения, используя производные. Возьмем узел кратности . Рассмотрим точки , где . При малом все эти точки будут лежать вблизи . По теореме, устанавливающей связь между разностным отношением и производной, существует точка , лежащая внутри промежутка при любом k, такая, что

.

При отрезок стягивается в точку , и . Значит, можно записать

(7.7)

Аргумент слева повторяется k + 1 раз.

Например, пусть узел имеет кратность 3, а узел — кратность 2. Можно составить таблицу разностных отношений

x1	f(x1)	f(x1,x1)=f /(x1)	f(x1,x1,x1)=f //(x1)/2	f(x1,x1,x1,x2)	f(x1,x1,x1,x2,x2)
x1	f(x1)	f(x1,x1)=f /(x1)	f(x1,x1,x2)	f(x1,x1,x2,x2)
x1	f(x1)	f(x1,x2)	f(x1,x2,x2)
x2	f(x2)	f(x2,x2)=f /(x2)
x2	f(x2)

Интерполяционный многочлен, построеннный с помощью зтой таблицы, будет иметь вид

, где