Итерационные и рекуррентные последовательности

Знакомый нам способ определения последовательности – формула общего члена последовательности.

Пример: последовательность четных чисел

f(n)=2n

В этом случае задается зависимость члена последовательности от номера

Итерационным (рекуррентным) определением последовательности называется определение зависимости очередного члена от предыдущего (или в общем случае рекуррентной последовательности – от нескольких предыдущих).

Итерация – повторение. Рекуррентность – возвратность, зависимость от предыдущего.

Первый член в этом случае (в общем случае - несколько первых) задаются независимо.

f(0)=0 f(n+1)=f(n)+2

f(0)=0 f(n+1)=f(n)+a_n+1

f(0)=1 f(n+1)=f(n)• a_n+1

f(n)=max(a₁, …, a_n)

f(1)=a₁ f(n+1)=max(f(n),a_n+1)

Понятие рекуррентности тесно связано с определением цикла.

Трасса цикла – есть рекуррентно задаваемая последовательность (состояний).

Найти n-ые члены определенных выше последовательностей

1. 

2. 

3. f(n)=max(a₁, …, a_n)

в предположении доступности обычных арифметических операций (функций двух аргументов) и сравнений.

Сам оператор цикла задает лишь итерационную зависимость текущего состояния всех переменных от их предыдущего состояния. Начальное состояние (значение 1-го члена итерации) задается независимо перед выполнением цикла – инициализация цикла.

Обратите внимание на последний пример. Сначала мы, как и в предыдущих примерах, определяем наибольшее среди n чисел в терминах максимума двух чисел (итерационное определение). Но последняя функция не допустима – ее собственной определение является подзадачей (условное определение). Здесь мы подходим к важной методике построения программ - программированию «сверху вниз».

Восходящее и нисходящее программирование

Фактически, мы определили бесконечное число языков блок-схем, различающихся наборами конкретных базовых операторов и предикатов.

В одном языке может быть больше обозначений, то есть любой допустимый в нем оператор и предикат может быть определен в виде программы на некотором другом языке. В этом случае говорят, что первый язык имеет более высокий уровень, чем второй.

Восходящее программирование – от средств к цели. Отталкиваясь от данного языка определений строить все более крупные блоки, то есть подниматься вверх по уровням языков программ.

Нисходящее программирование – от цели к средствам. В этом случае начиная от цели (спецификации задачи на каком-то языке высокого уровня) мы спускаемся вниз по уровням языков ко все более мелким деталям конечной программы.

Сначала, восходящее программирование кажется более естественным. Начинающие программисты обычно пишут операторы программы в порядке вычисления их компьютером.

Но восходящее программирование – скорее тактика, пригодная лишь для небольших задач. Главная стратегия при решении сложных задач – нисходящее проектирование. Фактически, нисходящее программирование не зависит от конкретного языка программирования.

Простой пример.

Сначала определи (итерацией) главную (последнюю в смысле вычисления) функцию  b_i, выделяя задачу вычисления b_i = a_ij в качестве отдельной подзадачи.

Итак, идея нисходящего программирования:

Начинай со спецификации – изложи то, что нужно хоть на каком-нибудь (достаточно) точном языке.

Далее, придумывай все более ограниченные языки спецификаций с тем, чтобы решение задачи, поставленной на языке L₂, сформулированное в терминах языка L_i+1 было достаточно простым, надежным, контролируемым.

Программа обычно считается сложной, если содержит более 2-х, 3-х циклов. Однако надежно отслеживать можно только один цикл.

В общем случае, задача спецификации, точной постановки задачи предметной, т.е. реальной моделируемой области очень сложна. Здесь мы ограничиваемся уже хорошо специфицированными задачами.

Пример с чуть менее очевидной спецификацией.

Дана последовательность положительных чисел a₁, …, a_n; a_i>0, a_n=0.

Ступенькой назовем произвольную возрастающую подпоследовательность a_i, …, a_i+k. Найти длину наибольшей ступени.

Спецификация. Max(l_k), где l_k - (подзадача вычисления) длины очередной ступеньки. Путаница здесь возникает из-за того, что функции привычнее обозначать существительными. Но длин много, наибольшая – одна (однозначность функции).