3.2 Аналіз урожайності методом множинної кореляції

Таблиця 18

№	Внесено Мін.добрив ц.д.р x1	Якість ґрунту, балів X2	Урожайність y	Розрахункові величини
				X12	X22	X1*X2	X1*Y	X2*y	Y2
1	1,9	65	340	3,61	4225	123,5	646	22100	115600
2	1,9	76	330	3,61	5776	144,4	627	25080	108900
3	3,6	86	310	12,96	7396	309,6	1116	26660	96100
4	1,9	63	243	3,61	3969	119,7	461,7	15309	59049
5	1,9	87	428	3,61	7569	165,3	813,2	37236	183184
6	2	80	334	4	6400	160	668	26720	111556
7	2	83	334	4	6889	166	668	27722	111556
8	1,7	63	231	2,89	3969	107,1	392,7	14553	53361
9	1,9	65	251	3,61	4225	123,5	476,9	16315	63001
10	2,2	83	369	4,84	6889	182,6	811,8	30627	136161
11	2,9	66	293	8,41	4356	191,4	849,7	19338	85849
12	2,8	75	364	7,84	5625	210	1019,2	27300	132496
13	2	85	412	4	7225	170	824	35020	169744
14	2	71	263	4	5041	142	526	18673	69169
15	1,9	73	296	3,61	5329	138,7	562,4	21608	87616
16	3,2	84	376	10,24	7056	268,8	1203,2	31584	141376
17	2,2	61	338	4,84	3721	134,2	743,6	20618	114244
18	3	80	385	9	6400	240	1155	30800	148225
19	2,2	74	253	4,84	5476	162,8	556,6	18722	64009
20	3	67	374	9	4489	201	1122	25058	139876
21	2,3	78	338	5,29	6084	179,4	777,4	26364	114244
22	3,1	63	314	9,61	3969	195,3	973,4	19782	98596
23	2,6	85	283	6,76	7225	221	735,8	24055	80089
24	3,2	66	344	10,24	4356	211,2	1100,8	22704	118336
25	2,8	66	289	7,84	4356	184,8	809,2	19074	83521
26	2,4	86	278	5,76	7396	206,4	667,2	23908	77284
27	2,8	69	360	7,84	4761	193,2	1008	24840	129600
28	3,4	86	395	11,56	7396	292,4	1343	33970	156025
29	3,1	77	401	9,61	5929	238,7	1243,1	30877	160801
30	1,8	86	329	3,24	7396	154,8	592,2	28294	108241
Разом	73,7	2249	9855	190,27	170893	5537,8	24493	744911	3317809
В середньому	2,456	74,97	328,5	6,34	5696,4	184,59	816,43	24830,37	110593,6

Множинна кореляція дає змогу оцінити зв'язок результативної ознаки з будь-якою факторною при фіксованому значенні інших, включених в регресійну модель. На практиці часто використовують множинні, багатофакторні рівняння регресії, коли на величину результативної ознаки впливають два, три, і більше факторів.

При теоретичному обґрунтуванні моделі і виборі факторних ознак слід враховувати тісноту кореляційного зв'язку між ознаками. При наявності зв'язку, який близький до функціонального, оцінки параметрів багатофакторного рівняння регресії будуть ненадійними. Для оцінки мультиколінеарності між ознаками достатньо обчислити відповідні коефіцієнти кореляції. Якщо коефіцієнт кореляції двох факторних ознак близький до одиниці, то одну з них треба виключити. На цьому етапі важливо не тільки вибрати фактори, але й розкрити структуру взаємозв'язку між ними.

Складною є проблема обґрунтування функціонального зв'язку виду багатофакторного виду рівняння регресії. Аналіз парних зв'язків непридатний, тому що фактори взаємозв'язані, а визначити зв'язок між У та X при фіксованих значеннях інших факторних ознак дуже складно. Тому на практиці найчастіше використовують багатофакторні лінійні рівняння і рівняння, що приводяться до лінійного виду відповідними перетвореннями, а саме виду:

У_х=а₀+а₁х₁+а₂х₂+а_nx_{n де}:

У_х - теоретичні значення резултьтативої ознаки;

а_1,а_2,а_n - параметри рівняння;

х_1,х_2,x_n - факторні ознаки.

Параметр рівняння а₁ називають частинним коефіцієнтом регресії. Він показує, як у середньому змінюється результативна ознака у зі зміною факторної ознаки х₁ на одиницю, за умови, що інші факторні ознаки залишаються незмінними.

Для визначення параметрів а_1,а_2, тобто при наявності 2-х факторних ознак, потрібно розв'язати систему нормальних рівнянь:

Поділимо кожне з трьох рівнянь на коефіцієнт при :

Віднімемо від першого рівняння друге та третє:

_a2=2,66

Для визначення тісноти та форми зв`язку між досліджуваними ознаками використовують наступні коефіцієнти:

Парні коефіцієнти кореляції - використовують для вимірювання щільності зв'язку між двома досліджуваними ознаками без врахування їх взаємодії з іншими ознаками, включеними в кореляційну модель:

Часткові коефіцієнти кореляції - характеризують щільність зв'язку результативної ознаки з першою факторною ознакою при умові, що інші факторні ознаки еліміновані:

Коефіцієнт множинної кореляції характеризує тісноту зв'язку між всіма досліджуваними моделями факторних і результативних ознак:

= ;

= ;

= = ;

=

=

=

=

= 0,1

= = = =0,672

Розділ 3.3

Непараметрична кореляція

Взаємозв’язок між ознаками, які можна зранжувати, передусім на основі бальних оцінок, вимірюється методами рангової кореляції. Рангами називають числа натурального ряду, які згідно зі значеннями ознаки надаються елементам сукупності і певним чином упоряд­ковують її. Ранжування проводиться за кожною ознакою окремо: перший ранг надається найменшому значенню ознаки, останній — найбільшому.

Кількість рангів дорівнює обсягу сукупності. Очевидно, зі збільшенням обсягу сукупності ступінь «розпізнаваності» елементів зменшується. З огляду на те, що рангова кореляція не потребує додержання будь-яких математичних передумов щодо розподілу ознак, зокрема вимоги нормальності розподілу, рангові оцінки щільності зв’язку доцільно використовувати для сукупнос­тей невеликого обсягу.

Ранги, надані елементам сукупності за ознаками і , позначають відповідно та . Залежно від ступеня зв’язку між ознаками певним чином співвідносяться й ранги. При прямому функціональному зв’язку = , тобто відхилення між рангами отже, й сума квадратів відхилень При зворотному функціональному зв’язку де — число рангів. Якщо зв’язок між ознаками відсутній, являє собою середню арифметичну цих крайніх значень: . Це є максимальна сума квадратів відхилень рангів. Отже, за відсутності зв’язку

Спираючись на зазначену математичну тотожність, К. Спірмен запропонував формулу для коефіцієнта рангової кореляції:

.

Коефіцієнт рангової кореляції має такі самі властивості, як і лінійний коефіцієнт кореляції: змінюється в межах від –1 до +1, водночас оцінює щільність зв’язку та вказує на його напрям.

Розрахуємо рангову кореляцію та визначимо тісноту зв’язку між урожайністю цукрових буряків, якістю ґрунту та внесенням мінеральних добрив.

Таблиця 20

Вихідні та розрахункові дані для обчислення рангової кореляції

№п/п	Y	X1	X2	Ry	Rx1	Rx2	d1= Ry- Rx1			d2= Ry- Rx2		d12		d22
1	340	1,9	65	19	3,16	5,5	15,84			13,5		250,905		182,3
2	330	1,9	76	14	3,16	16	10,84			-2		117,505		4
3	310	3,6	86	11	30	26,25	-19			-15,25		361		232,5
4	243	1,9	63	2	3,16	2,3	-1,16			-0,3		1,3456		0,09
5	428	1,9	87	30	3,16	30	26,84			0		720,385		0
6	334	2	80	15,5	9,25	19,5	6,25			-4		39,0625		16
7	334	2	83	15,5	9,25	21,5	6,25			-6		39,0625		36
8	231	1,7	63	1	1	2,3	0			-1,3		0		1,69
9	251	1,9	65	3	3,16	5,5	-0,16			-2,5		0,0256		6,25
10	369	2,2	83	23	13,33	21,5	9,67			1,5		93,5089		2,25
11	293	2,9	66	9	22	7,3	-13			1,7		169		2,89
12	364	2,8	75	22	19,33	15	2,67			7		7,1289		49
13	412	2	85	29	9,25	24,5	19,75			4,5		390,062		20,25
14	263	2	71	5	9,25	12	-4,25			-7		18,0625		49
15	296	1,9	73	10	3,16	13	6,84			-3		46,7856		9
16	376	3,2	84	25	27,5	23	-2,5			2		6,25		4
17	338	2,2	61	17,5	13,33	1	4,17			16,5		17,3889		272,2
18	385	3	80	26	23,5	19,5	2,5			6,5		6,25		42,25
19	253	2,2	74	4	13,33	14	-9,33			-10		87,0489		100
20	374	3	67	24	23,5	10	0,5			14		0,25		196
21	338	2,3	78	17,5	16	18	1,5			-0,5		2,25		0,25
22	314	3,1	63	12	25,5	2,3	-13,5			9,7		182,25		94,09
23	283	2,6	85	7	18	24,5	-11			-17,5		121		306,2
24	344	3,2	66	20	27,5	7,3	-7,5			12,7		56,25		161,2
25	289	2,8	66	8	19,33	7,3	-11,33			0,7		128,368		0,49
26	278	2,4	86	6	17	26,25	-11			-20,25		121		410,1
27	360	2,8	69	21	19,33	11	1,67			10		2,7889		100
28	395	3,4	86	27	29	26,25	-2			0,75		4		0,562
29	401	3,1	77	28	25,5	17	2,5			11		6,25		121
30	329	1,8	86	13	2	26,25	11			-13,25		121		175,5
Сума	9855	73,7	2249	465	441,94	455,8		X	X		3116,18		2595,1

Використовуючи формулу Спірмена розрахуємо коефіцієнт кореляції рангів:

Розрахувавши коефіцієнт кореляції рангів ми можемо стверджувати, що між результативною та факторними ознаками спостерігається прямий зв’язок. Крім того між урожайністю та внесенням мінеральних добрив на 1 га цукрових буряків – зв’язок тісний, в той же час ми можемо спостерігати слабкий зв’язок між урожайністю та якістю ґрунту.

Таблиця 21