Заняття 4. Перетворення тригонометричних виразів в добуток. Доведення умовних тотожностей.

Розглянемо деякі способи перетворення тригонометричних виразів у добуток.

Приклад 4.1. Записати у вигляді добутку вираз

Розв’язання.

Приклад 4.2. Перетворити в добуток .

Розв’язання.

Приклад 4.3. Перетворити в добуток

Розв’язання.

Приклад 4.4. Перетворити в добуток

Розв’язання.

Умовними тотожностями називаються такі тотожності, які задовольняються при всіх допустимих значеннях аргументів, які в свою чергу задовольняють певні додаткові умови.

Приклад 4.5. Довести умовну тотожність

, якщо .

Доведення. Перетворимо ліву частину рівності, враховуючи умову , тоді отримаємо:

Приклад 4.6. Доведіть умовну тотожність

, якщо ,

Доведення. Враховуючи, що та отримаємо:

Рекомендовано провести самостійну роботу (30 хвилин).

Завдання для роботи доцільно підібрати з виконаних домашніх завдань.

Завдання для самостійної роботи.

Перетворити в добуток:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. .

Довести умовні тотожності:

1. , якщо

;

2. , якщо ;

3. , якщо ;

4. , якщо ;

5. , якщо ;

6. , якщо ;

7. , якщо ;

8. якщо

;

9. , якщо ;

10. , якщо

.

Заняття 5. Тотожні перетворення виразів, що містять обернені тригонометричні функції.

Функції , , , називаються оберненими тригонометричними функціями або аркфункціями.

Зазначимо деякі важливі тотожності:

, .

Розглянемо формули залежності між аркфункціями.

Нехай , де , і , тоді . Знайдемо

, , .

З цих співвідношень, враховуючи, що дістанемо наступні рівності:

Якщо , то перед застосуванням формул слід змінити знак аргументу, використавши наступні співвідношення:

Приклад 5.1. Обчисліть: а) ; б) ; в) ; г) .

Розв’язання.

а) ;

б) ;

в)

;

г)

Приклад 5.2. Обчисліть .

Розв’язання. Для обчислення даного виразу слід скористатися формулою додавання , враховуючи, що

, а . Одержимо:

Приклад 5.3. обчисліть .

Розв’язання. В даному випадку потрібно скористатися формулою , попередньо перетворивши в з відповідним аргументом.

.

Приклад 5.4. Обчисліть .

Розв’язання. Нехай , тоді . врахувавши, що , то . Для знаходження , використаємо формулу , тому спочатку потрібно знайти . З формули , врахувавши, що , знайдемо . Так як в інтервалі то . Отже і враховуючи, що і на даному інтервалі синус приймає лише додатних значень, то . Таким чином .

Приклад 5.5. Обчисліть .

Розв’язання. Нехай , тоді і . Але , враховуючи, що і отримаємо:

.

Приклад 5.6. Довести тотожність .

Доведення. Обчислимо значення тангенса від обох частин рівності:

;

.

Але тотожність, ще недоведена бо існує безліч кутів, тангенс яких дорівнює 1. Для переконання, що сума дорівнює , слід довести, що сума попадає в той самий інтервал монотонності, що й , а саме в інтервал .

Додамо почленно обидві нерівності. Отримаємо

.

Оскільки дуги кутів і належать одному інтервалу монотонності і мають однакові тангенси, то вони рівні. Отже тотожність доведено.

Завдання для самостійної роботи.

Обчисліть:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. .

Довести тотожності:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .