10. Мат. Описание бегущих волн.

Будем описывать волну, распространяющуюся в положительном направлении X со скоростью C. Если это – звуковая волна, то в ней имеются волновые фронты, распространяющиеся в направлении оси Х со скоростью С, и возмущение может быть выражено через происходящие смещения частиц среды U и через давление P. Будем использовать обобщенную переменную y для характеристики возмущения среды. Это возмущение – функция как от времени, так и от координат. Возмущение не обязательно должно быть синусоидальным. Если y=sin x, то синусоидальная волна будет заторможена во времени. Нужно выразить расстояние вдоль оси Х в виде произведения безразмерного сомножителя и угла. Поскольку возмущение периодическое с длиной волны λ, то у=sin 2πx/λ. Представим, что возмущения движутся вдоль Х. Пусть они движутся вправо. Через t контур сдвинется на расстояние ct. Математическое описание может быть представлено в следующем виде y=sin(2π/λ)∙(x-Ct). Тогда формула для бегущей синусоидальной волны может быть представлена в нескольких вариантах: sin[2π(x/λ-Ct/λ)]= sin[2π(x/λ-t/T)]= sin(kx-ωt), где k=2π/λ. Выражение дает наглядное представление о сходном характере зависимости бегущей волны от расстояния и времени. По мере продвижения от 0 до длины волны аргумент синуса возрастает от 0 до 2π. То же происходит и стечением времени, когда оно изменяется до Т.

11. Сферическая волна

Фронт – сфера, в центре которой – источник колебаний, а звуковые волны, лучи, совпадают с радиусом сферы. Полная мощность звука, исходящая из источника и расходящаяся по всем направлениям, если пренебречь потерями, не изменяется по величине с удалением от источника. Интенсивность звука изменяется по квадратичному закону I=I₁/r². Звуковое давление для сферической волны с расстоянием уменьшается по гиперболе P_r=P₁/r. Волновое уравнение: ∂²P/∂t²= C²(∂²P/∂x²+ ∂²P/∂y²+ ∂²P/∂z²); C²=γP_AC/ρ. При преобразовании координат из прямоугольных в сферические волновое уравнение будет иметь вид: ∂²P/∂t²= C²∙(∂²P/γr²). Общий вид решения уравнения: P= P₁/r∙[φ₁(t- r/C)+ φ₂(t+ r/C)]. Первое слагаемое соответствует волне, распространяющейся от источника звука, а второе – к источнику. Рассмотрим частное решение для волны, распространяющейся в положительном направлении. P= (P₁/r)∙exp[iω(t- r/C)]= (P₁/r)∙exp[i(ωt- kr)]. Скорость колебания частиц: v= (v₁/r)∙exp[i(ω(t- r/C)-ψ)], где ψ – сдвиг фазы между звуковым давлением и скоростью колебаний, tgψ= c/ωr= 1/Rr=λ/2πr, v₁= P₁/ρ∙C∙cosψ. Чем меньше отношение λ/r, тем меньше ψ. На средних частотах на расстоянии больше 1 метра можно не считаться с ψ. δ=P/v= ρC∙(iωr/(C+iωr))= ρC[ (k²r²/(1+k²r²))+ i∙(kr/(1+k²r²)); |δ|= P_r/v_m= ρC∙ωr/√(k²+ω²r²)= ρC∙kr/√(1+k²r²)= ρC∙cosψ; I=P_m²/2ρC= P_э/ρC. Удельное акустическое сопротивление для плоской волны, чисто активное δ= P/v= ρC. Интенсивность звука в плоской волне I=P_mU_m/2= P_э²/ρC..

12. Цилиндрическая волна

Фронт – круглая цилиндрическая форма. Причем ось цилиндра совпадает с осью источника звука, а радиус цилиндра совпадает со звуковыми лучами.

13. Интерференция звуковых волн

Интерференция звуковых волн возникает при одновременном распространении двух или нескольких волн в различном направлении (наибольший интерес – в противоположных направлениях. Тогда образуется стоячая волна с кучностями и узлами.) Расстояние между соседними кучностями также как и между соседними узлами равно 0,25λ. В кучностях давления амплитуда звукового давления равна удвоенной амплитуде бегущей волны, а в узле – нулю. (РИСУНКИ). В стоячих волнах поток энергии равен 0, поэтому такие волны характеризуют или плотностью энергии, или квадратом звукового давления. При неодинаковых амплитудах прямой и обратной волн стоячая волна образуется из обратной и части прямой волны, по амплитуде равной амплитуде обратной волны. Остальная часть прямой волны образует бегущую волну. Ее амплитуда P_бег=Р_пр-Р_обр. В кучности, прямой и обратной, амплитуды обеих волн складываются P_max= P_пр+ P_обр, в узле – вычитаются P_min= P_пр- P_обр. Если известны значения амплитуд давлений в кучности и узле, то можно найти отношение P_обр/P_пр= (P_max-P_min)/(P_max+P_min)= (1-δ)/(1+δ). δ= P_min/P_max - коэффициент бегущей волны. Поток энергии создается только бегущей волной. Плотность энергии состоит из плотности бегущей и стоячей волн.