2. Задание на лабораторную работу

2.1. Изучить предлагаемые варианты задач.

2.2. В соответствии с вариантом задания, определенным преподавателем, составить схемы вычисления, реализующие метод, и найти решение.

2.3. Оформить отчет о выполнении задания с приведением условия задачи, схемы методов, результатов решения и заключения.

3. Варианты заданий

1.Предположим, что по периметру колеса русской рулетки расставлены числа от 1 до 8 и вероятности остановки колеса на каждом из этих чисел одинаковы. Игрок платит 5 долларов за возможность сделать не более четырех вращений колеса. Определить оптимальную стратегию игрока для каждого из четырех вращений и найдем соответствующий ожидаемый выигрыш.

2.Я хочу продать свой подержанный автомобиль тому, кто предложит наивысшую цену. Изучая автомобильный рынок, я пришел к выводу, что с равными вероятностями мне за автомобиль могут предложить очень низкую цена (около Д 050 долларов), просто низкую цену (около 1900 долларов), среднюю цену (около 2500долларов) либо высокую цену (примерно 3000 долларов). Я решил помещать объявление о продаже автомобиля на протяжении не более трех дней подряд. В конце каждого дня мне следует решить, принять ли наилучшее предложение, поступившее в течение этого дня. Какой должна быть моя оптимальная стратегия относительно принятия предложенной цены за автомобиль?

3.(1).Пусть в модели инвестирования объем инвестиции составляет С=10 000 долларов на 4-летний период. Необходимо разработать оптимальную стратегию инвестирования. Определите оптимальную инвестиционную политику в предположении, что вероятности р_k и прибыли r_к для следующих 4 лет принимают такие значения.

Год	r1	r2	r3	p1	p2	p3
1	2	1	0,5	0,1	0,4	0,5
2	1	0	-1	0,4	0,4	0,2
3	4	-1	-1	0,2	0,4	0,4
4	0,8	0,4	0,2	0,6	0,2	0,2

4.(2).Камера объемом 10 кубических метров предназначена для хранения изделий трех наименований. Одно изделие наименований 1, 2, 3 занимает соответственно 2, 1 и 3 кубических метра. Вероятности спроса на эти изделия приведены в следующей таблице.

		Вероятность спроса
Количество	Наименование 1	Наименование 2	Наименование 3
единиц
1	0,5	0,3	0,3
2	0,5	0,4	0,2
3	0,0	0,2	0,5
4	0,0	0,1	0,0

Стоимость хранения единицы изделия наименований 1, 2, 3 равна 8, 10 и 15 долларов соответственно. Сколько единиц изделий каждого наименования следует хранить в камере?

5.(3).Фирма с высокотехнологичным производством начала выпуск самых современных суперкомпьютеров в расчете на трехлетний период. Годовой спрос D на новый суперкомпьютер описывается распределением

p(D=1)=0,5, p(D=2)=0,3, p(D=3)=0,2.

Производственная мощность завода составляет три суперкомпьютера в год стоимостью 5 миллионов долларов каждый. Количество произведенных за год суперкомпьютеров может не совпадать в точности с объемом спроса. На нереализованный к концу года суперкомпьютер требуются затраты в 1 миллион долларов, связанные с его хранением и содержанием в исправности. Фирма терпит убытки в 2 миллиона долларов, если поставка суперкомпьютера откладывается на один год. Фирма не будет принимать новых заказов позже четвертого года, но будет продолжать выпуск суперкомпьютеров на протяжении пятого года, чтобы выполнить все заказы, оказавшиеся невыполненными к концу четвертого года. Определите оптимальные годичные объемы производства суперкомпьютеров.

6.(4).Компания владеет тремя спортивными центрами в деловой части города. На Пасху популярны велосипедные прогулки на открытом воздухе. В компании имеется восемь велосипедов, которые она может распределить между тремя центрами для их проката в целях максимизации доходов. Спрос на велосипеды и часовая стоимость их аренды зависят от месторасположения центра и характеризуются следующими данными.

		Вероятность спроса
Количество велосипедов	Центр 1	Центр 2	Центр 3
0	0,10	0,02	0
1	0,20	0,03	0,15
2	0,30	0,10	0,25
3	0,20	0,25	0,30
4	0,10	0,30	0,15
5	0,10	0,15	0,10
6	0	0,05	0,025
7	0	0,05	0,025
8	0	0,05	0
Арендная плата ($/час)	6	7	5

Как компании распределить восемь велосипедов между тремя спортивными центрами?

7.(1).Некий индивидуум планирует инвестировать 2 000 долларов. Имеющиеся варианты позволяют удвоить эту сумму с вероятностью 0,3 или потерять ее с вероятностью 0,7. Акции продаются в конце года, а в начале следующего года все деньги или их часть снова инвестируются. Этот процесс повторяется на протяжении трех лет. Целью является максимизация вероятности достижения суммы в 4 000 долларов в конце третьего года. Кроме этого этап 1 решения задачи показывает, что существует два альтернативных оптимума: у₁=0 и у₂=2. Покажите, что применение стратегии у₁=2 (т.е. инвестировать все деньги в начале первого года) не изменяет результата инвестиционной политики на протяжении трех лет, а именно, соответствующая максимальная вероятность достижения цели сохраняется равной 0,3.

8.(2).Решите задачу 7, если целью инвестора является максимизация вероятности достижения, по меньшей мере, суммы в 6 000 долларов к концу третьего года. Инвестор имеет в своем распоряжении 1000 долларов, и вероятность удвоения суммы на протяжении каждого года равна 0,6.

9.(3).Вы и ваш друг хотите сыграть в казино в следующую игру. Вы делаете определенную ставку, и каждый из вас независимо подбрасывает симметричную монету. За каждый доллар суммы ставки казино заплатит три доллара (что дает чистую прибыль в 2 доллара), если в результате подбрасывания выпадут две решки. Иначе вы теряете сумму ставки. Если вы с другом имеете в сумме один доллар, определите стратегию игры, считая, что целью является максимизация вероятности окончания трех игр с суммой в 4 доллара.

10.(6).Отель использует внешнюю прачечную для стирки полотенец. За день в отеле накапливается 600 грязных полотенец. Прачечная забирает эти полотенца и заменяетих чистыми через постоянные промежутки времени. Стоимость однократной доставки полотенец в прачечную и обратно равна 81 доллар. Стирка одного полотенца обходится в $0.60. Стоимость хранения в отеле грязного и чистого полотенец равна $0.02 и $0.01 соответственно. Как часто следует отелю пользоваться службой доставки полотенец? (Подсказка. В этой задаче имеется два типа складируемых предметов. Если количество грязных полотенец возрастает, то количество чистых уменьшается с равной интенсивностью.)

11.(7).Дана задача управления запасами, в которой склад пополняется равномерно (вместо мгновенного пополнения) с интенсивностью а. Продукция потребляется с интенсивностью D. Так как потребление происходит наряду с периодом пополнения, необходимо, чтобы было a >D. Стоимость размещения заказа равна К, а стоимость хранения единицы продукции в единицу времени — h. Покажите, что еслиу — объем заказа и отсутствует дефицит, то

1. максимальный объем запаса равен y(1—D/a),

2. общие затраты в единицу времени при заданном у равны

3. экономичный объем заказа равен

d) формулу экономичного объема заказа при мгновенном пополнении запаса можно получить из формулы в п. с).

12.(8).Фирма может производить изделие или покупать его у подрядчика. Если фирма сама выпускает изделие, то каждый запуск его в производство обходится в 20 долларов. Мощность производства составляет 100 единиц в день. Если изделие закупается, затраты на размещение каждого заказа равны 15 долларов. Затраты на содержание изделия на складе, независимо от того, закупается оно или производится на фирме, равны $0,02 в день. Потребление изделия фирмой оценивается в 260 000 единиц в год. Если предположить, что фирма работает без дефицита, определите, что выгоднее — закупать или производить изделия?

13.(2).Продукция используется с интенсивностью 30 единиц в день. Стоимость хранения единицы продукции равна 0,05 доллара в день, стоимость размещения заказа составляет 100 долларов. Предположим, что дефицит продукции не допускается, стоимость закупки равна 10 долларов за единицу продукции, если объем закупки не превышает 500 единиц, и 8 долларов в противном случае. Определите оптимальную стратегию управления запасами при условии, что срок выполнения заказа равен 21 день.

14.(3).Комплектующие продаются по 25 долларов за единицу, но предлагается 10%скидка при покупке партии от 150 единиц и выше. Компания в день использует 20единиц комплектующих. Стоимость размещения заказа равна 50 долларов, стоимость хранения единицы товара составляет 0,30 доллара в день. Следует ли компании воспользоваться скидкой?

15.(2).Приведенные ниже данные относятся к задаче управления запасами для четырех видов продукции. Компания желает определить экономичный объем заказа для каждого из четырех видов продукции таким образом, чтобы суммарное количество заказов в год (365 дней) было не более 150.

Продукция i	К;($)	D, (единиц в день)	hi,($)
1	100	10	0,1
2	50	20	0,2
3	90	5	0,2
4	20	10	0,1

16.(3). Решите предыдущее упражнение в предположении, что единственным ограничением является денежная сумма в 10 000 долларов, которая может быть инвестирована на приобретение запасов продукции. Стоимость закупки единицы продукции вида 1, 2, 3 и 4 равна соответственно 10, 5, 10 и 10 долларов.

17.(1). Компания производит специальные вытяжки, которые используются в домашних каминах в период с декабря по март. В начале отопительного сезона спрос на эту продукцию низкий, в середине сезона он достигает своего пика и уменьшается к концу сезона. Учитывая популярность продукции, компания может использовать сверхурочные работы для удовлетворения спроса на свою продукцию. Следующая таблица содержит данные о производственных мощностях компании и объемах спроса на протяжении четырех месяцев.

Период i	Стоимость единицы продукции при обычном режиме работы ($)	Стоимость единицы продукции при сверхурочном режиме ($)	Стоимость хранения единицы продукции до периода i + 1
1	5,00	7,50	0,10
2	3,00	4,50	0,15
3	4,00	6,00	0,12
4	1,00	1,50	0,20

Стоимость производства единицы продукции равна 6 долларов в условиях обычного режима работы и 9 долларов при сверхурочных работах. Стоимость хранения единицы продукции на протяжении месяца равна 0,10 доллара.

Чтобы гарантировать допустимое решение при отсутствии дефицита, требуется, чтобы суммарное предложение продукции (возможности производства) к началу каждого месяца по меньшей мере равнялось суммарному спросу.

18.(2). Изделие производится для удовлетворения заданного спроса на четырех временных этапах в соответствии со следующими данными.

Диапазон объема производства (единицы)	Удельные производственные затраты на этапах ($)
	1	2	3	4
1-3	1	2	2	3
4-11	1	4	5	4
12-15	2	4	7	5
16-25	5	6	10	7
Затраты на хранение одного изделия до следующего этапа ($)	0,30	0,35	0,20	0,25
Суммарный спрос (единицы)	11	4	17	29

1. Найдите оптимальное решение, определяющее количество изделий, которые необходимо изготовить на каждом из четырех этапов.

2. Предположим, что на этапе 4 требуется 10 дополнительных изделий. На каких этапах следует их изготовить?

19.(3). В течение последующих пяти этапов спрос на некоторое изделие можно удовлетворить при обычном режиме работы, сверхурочных работах и субподряде. Субподряды можно использовать лишь при нехватке мощностей сверхурочных работ. Данные о производственных мощностях и объемах спроса приведены в следующей таблице.

	Производственные мощности (единицы)
Этап	Обычный режим работы	Сверхурочные работы	Субподряд	Спрос
1	100	50	30	153
2	40	60	80	200
3	90	80	70	150
4	60	50	20	200
5	70	50	100	203

Предполагается, что затраты на производство единицы продукции на всех этапах одинаковы и составляют 4, 6 и 7 долларов при обычном режиме работы, сверхурочных работах и субподряде соответственно. Затраты на хранение единицы продукции на каждом этапе равны 0.50 доллара. Требуется найти оптимальное решение.

1 Подробное доказательство изложено в работе Wagner H. and Whitin T. "Dynamic Version of the Economic Lot Size Model", Management Science, Vol.5, 1958, pp. 89-96. Доказательство получено при ограничивающем предположении, что затраты на единицу продукции постоянны и идентичны на всех этапах. Этот результат в дальнейшем был обобщен А. Вейнотгом (A. Veinott) из Станфордского университета для вогнутых функций затрат, имеющих место на каждом этапе.