Методичка по лабораторной работе №3

2

тельно, f1(0)=p1f2(1)+p2f2(2)+...+ pnf2(n). После выполнения последнего вращения колеса (i=т) имеется лишь один выбор — закончить игру независимо от исхода j т-го вращения. Следовательно, fm+1(j)=2j.

Рекуррентные вычисления начинаются cfm+l, заканчиваются при f1(0) и сводятся таким образом к m+1 вычислительному этапу. Так как f1(0) представляет собой ожидаемую прибыль от всех m вращений колеса, а игра обходится игроку в х долларов, имеем следующее.

Ожидаемая прибыль = f1(0) – х.

1.3. Вероятностная задача инвестирования

Некто планирует инвестировать С тысяч долларов через фондовую биржу в течение последующих и лет. Инвестиционный план состоит в покупке акций в начале года и продаже их в конце этого же года. Накопленные деньги затем могут быть снова инвестированы (все или их часть) в начале следующего года. Степень риска инвестиции представлена тем, что прибыль имеет вероятностный характер. Изучение рынка свидетельствует о том, что прибыль от инвестиции зависит от m условий рынка (благоприятных или неблагоприятных). При этом условие i приводит к прибыли ri с вероятностью рi, i=1, 2, ..., т. Как следует инвестировать С тысяч долларов для наибольшего накопления к концу п лет?

Обозначим

xi — сумма денежных средств, доступных для инвестирования в начале i-го года

(x1=C),

уi — сумма реальной инвестиции в начале i-го года (уi < хi). Элементы модели ДП можно описать следующим образом. Этап i представляет i-й год инвестирования.

Альтернативами на этапе i являются величины yi. Состояние системы на этапе i описывается величиной хi.

Пусть fi(xi) — максимальная ожидаемая сумма поступления денежных средств за года от i до n при условии, что в начале i-го года имеется сумма хi. Для k-го условия рынка имеем следующее.

хi+1=(1+rk)yi+(хi–уi)=rkyi+xi, k=1,2,...,m.

Так как вероятность k–го условия рынка равна рk, рекуррентное уравнение динамического программирования имеет следующий вид.

где fn+1(xn+1)= xn+1, так как после n-го года инвестиции нет. Отсюда следует, что

поскольку функция в фигурных скобках является линейной по уn и, следовательно, достигает своего максимума при уn=хn.

1.4.Максимизация вероятности достижения цели

Впредыдущем разделе рассматривалась задача, связанная с максимизацией ожидаемой прибыли. Иным полезным критерием для рассмотренной задачи является максимизация вероятности достижения определенного уровня дохода. Продемонстрируем этот подход на примере модели инвестирования, которая описана в разделе 15.3.

Используя обозначения из раздела 15.3, оставим без изменения определение этапа i,

альтернативы yi и состояния xi. Эти модели отличаются только определением критерия; здесь нашей целью является максимизация вероятности достижения некоторой накопленной денежной суммы S по истечении n лет. С этой точки зрения определим функцию fi(xi)

—вероятность накопления суммы S, если в начале i-го года имеются денежные средства в

сумме хi и для последующих лет i, i+1,..., п используется оптимальное инвестирование. Рекуррентное уравнение динамического программирования имеет вид

3

Рекуррентная формула основана на формуле условной вероятности

В нашем случае fi+1(xi+rkуi) играет роль вероятности Р{А | Bj}.

1.5. Классическая задача экономичного размера заказа

Простейшие модели управления запасами характеризуются постоянным во времени спросом, мгновенным пополнением запаса и отсутствием дефицита. Введем обозначения:

у — объем заказа (количество единиц продукции),

D — интенсивность спроса (измеряется в единицах продукции на единицу времени), to — продолжительность цикла заказа (измеряется во временных единицах). Уровень запаса изменяется в соответствии с функцией, показанной на рис. 11.1, где

использованы приведенные выше обозначения. Заказ объема у единиц размещается и пополняется мгновенно, когда уровень запаса равен нулю. Затем запас равномерно расходуется с постоянной интенсивностью спроса D. Продолжительность цикла заказа для этого примера равна

Средний уровень запаса определяется соотношением

Оптимальная стратегия управления запасами для рассмотренной модели формулируется следующим образом:

В действительности пополнение запаса не может произойти мгновенно в момент размещения заказа, как предполагалось ранее. Для большинства реальных ситуаций существует положительный срок выполнения заказа L (временное запаздывание) от момента его размещения до реальной поставки, как показано на рис. 11.2. В этом случае точка возобновления заказа имеет место, когда уровень запаса опускается до LD единиц.

Рис. 11.2

На рис. 11.2 представлено изменение уровня запаса во времени в предположении, что срок выполнения заказа L меньше продолжительности цикла заказа t"0, что в общем случае выполняется не всегда. В противном случае определяется эффективный срок Le выполнения заказа в виде

где п— наибольшее целое, не превышающее L/t*0. Такое решение оправдывается тем, что после п циклов (длиной t'o каждый) ситуация управления запасами становится такой же, как если бы интервал между размещением одного заказа и получением другого был равен Le. Следовательно, точка возобновления заказа имеет место при уровне запаса

4

LeD единиц продукции, и стратегия управления запасами может быть переформулирована следующим образом.

Заказывать у* единиц продукции, как только уровень запаса опускается до LeD еди-

ниц.

1.6. Задача экономичного размера заказа с разрывами цен

Представленная в этом разделе модель управления запасами отличается от рассмотренной в разделе 11.3.1 только тем, что продукция может быть приобретена со скидкой, если объем заказа у превышает некоторый фиксированный уровень q; таким образом, стоимость единицы продукции с определяется как

где с1>с2. Следовательно,

Используя обозначения из раздела 11.3.1, запишем общие затраты в единицу времени следующим образом.

Графики функций TCU1 и TCU2 представлены на рис. 11.3. Так как значения этих функций отличаются только на постоянную величину, то точки их минимума совпадают и находятся в точке

Рис. 11.3

График функции затрат TCU(y), если идти от минимальных значений аргументов, совпадает с графиком функции TCU1(y) до точки у = q, в которой меняется цена продукции, а затем совпадает с графиком функции ТСU2(у). Рис. 11.3 показывает, что определение оптимального объема заказа У зависит от того, где находится точка разрыва цены q по отношению к указанным на рисунке зонам I, II и III, которые определены как интервалы [0, ут), [ут, Q) и [Q, ∞) соответственно. Величина Q (> ут) определяется из уравнения

TCU2(Q)=TCU1(yт).

Рис. 11.4 показывает, как определяется оптимальное значение y*.

Алгоритм определения у* можно сформулировать в следующем виде.

тиввном случае переходим к шагу 2.

5

Шаг 2. Находим Q из уравнения TCU2(Q) = TCU\(ym) и определяем зоны II и ИГ Если q находится в зоне II, полагаем у*=q. Иначе q находится в зоне III, тогда у*=ут.

1.7. Многопродуктовая статическая модель с ограниченной вместимостью склада

Эта модель рассматривает задачу управления запасами п различных товаров, которые хранятся на одном складе ограниченной вместимости. Характер изменения запаса каждого товара в отдельности определяется функцией, показанной на рис. 11.1; предполагаем, что дефицит отсутствует. Отличие от ранее рассмотренных моделей состоит в том, что товары конкурируют между собой за ограниченное складское пространство.

Определим для товара i, i=1,2,...,п, следующие параметры. Di — интенсивность спроса,

Ki — стоимость размещения заказа,

hi — стоимость хранения единицы товара в единицу времени, уi — объем заказа,

ai — необходимое пространство для хранения единицы товара,

А — максимальное складское пространство для хранения товаров п видов.

При отсутствии дефицита математическая модель сформулированной задачи имеет следующий вид.

при ограничениях

уi >0, i=l,2,…,п.

Алгоритм решения этой задачи можно описать следующим образом.

Шаг 1. Вычисляются оптимальные объемы заказов без учета ограничения по вместимости склада:

Шаг 2. Осуществляется проверка, удовлетворяют ли найденные значения у* ограничению по вместимости склада. Если "Да", вычисления заканчиваются, при этом значения у', /= 1, 2, ..., п являются оптимальными. В противном случае следует перейти к шагу Шаг3. 3. Ограничение по вместимости склада должно удовлетворяться в форме равенства. Используется метод множителей Лагранжа для определения оптимальных объемов заказа для задачи с ограничением.

На шаге 3 строится функция Лагранжа

где λ (< 0) — множитель Лагранжа.

Так как функция Лагранжа является выпуклой, оптимальные значения yt и Я находятся из следующих уравнений, которые представляют собой необходимые условия экстремума функции Лагранжа.

Второе уравнение показывает, что ограничение по вместимости склада в оптимальной точке должно удовлетворяться в форме равенства. Из первого уравнения следует, что

6

Полученная формула показывает, что уi* зависит от оптимального значения λ* множителя Лагранжа. Кроме того, при λ* = 0 значение уi* является решением задачи без ограничения.

Значение λ* может быть найдено следующим образом. Так как по определению в поставленной выше задаче минимизации λ* < 0, мы последовательно уменьшаем λ на достаточно малую величину и используем ее в данной формуле для вычисления соответствующего значения уi*. Искомое значение λ* приводит к значениям уi*, i=1,2,...,n, которые удовлетворяют ограничению по вместимости склада в форме равенства.

1.8.Модель с затратами на оформление заказа

Врассматриваемой модели предполагается, что дефицит не допускается и затраты на оформление заказа учитываются всякий раз, когда начинается производство новой партии продукции. Здесь будут рассмотрены два метода решения этой задачи: точный метод динамического программирования и эвристический.

zi — количество заказанной продукции (объем заказа), Di — потребность в продукции (спрос),

xi — объем запаса на начало этапа L

Стоимостные элементы в рассматриваемой задаче определяются так:

Кi — затраты на оформление заказа,

hi — затраты на хранение единицы продукции, переходящей из этапа i в этап i + 1. Соответствующая функция производственных затрат для этапа i задается формулой

где сi(zi) — функция предельных производственных затрат при заданном значении zi.

Алгоритм динамического программирования с общей функцией стоимости. Так как дефицит не допускается, задача управления запасами сводится к нахождению значений zi, минимизирующих суммарные затраты, связанные с размещением заказов, закупкой и хранением продукции на протяжении п этапов. Затраты на хранение на i-м этапе для простоты предполагаются пропорциональными величине

xi+1=xi+zi–Di,

которая представляет собой объем запаса, переходящего из этапа i в этап i + 1.

Для построения модели динамического программирования можно воспользоваться рекуррентными соотношениями процедуры прямой или обратной прогонки (см. главу 10). Мы воспользуемся рекуррентными соотношениями процедуры прямой прогонки, так как они более эффективны при анализе важного частного случая рассматриваемой задачи, связанного с невозрастающими предельными затратами.

Для рекуррентного уравнения процедуры прямой прогонки состояние на этапе (периоде) i определяется как объем запаса xi+ на конец этапа, где, как следует из рис. 11.7,

0<xi+1<Di+1+...+Dn.

Это неравенство означает, что в предельном случае запас xi+ может удовлетворить спрос на всех последующих этапах.

Пусть fi(xi+l) — минимальные общие затраты на этапах 1, 2, ..., i при заданной величине запаса xi+l на конец этапа i. Тогда рекуррентное уравнение алгоритма прямой прогонки будет записано следующим образом.

Алгоритм динамического программирования для задачи с постоянными ИЛИ НЕВОЗРАСТАЮЩИМИ ПРЕДЕЛЬНЫМИ ЗАТРАТАМИ. Рассмотренную выше модель динамического программирования можно использовать при любых функциях затрат.

7

Важным частным случаем этой модели является такая модель, когда на этапе i как стоимость закупки единицы продукции, так и затраты на ее хранение есть невозрастающими (вогнутыми) функциями объема закупаемой и хранимой продукции соответственно. Такая же ситуация возникает, когда функция стоимости, отнесенная к единице продукции, является постоянной или когда имеет место оптовая скидка.

При указанных выше условиях можно доказать следующее.1

1.При заданном начальном нулевом уровне запаса (x1=0) для любого этапа i оптимальной стратегией является удовлетворение спроса за счет либо новой закупленной про-

дукции, либо запаса, но не с обоих источников, т.е. zixi=0. (При положительном начальном уровне запаса (х1>0) этот объем может быть списан из спроса последующих этапов, пока он не исчерпается.)

2.Оптимальный объем заказа zi на любом этапе i должен либо равняться нулю, либо

вточности соответствовать спросу одного или более последующих этапов. Использование указанных двух свойств с рекуррентным уравнением для алгоритма

прямой прогонки динамического программирования позволяет упростить схему вычислений.

2.Задание на лабораторную работу

2.1.Изучить предлагаемые варианты задач.

2.2.В соответствии с вариантом задания, определенным преподавателем, составить схемы вычисления, реализующие метод, и найти решение.

2.3.Оформить отчет о выполнении задания с приведением условия задачи, схемы методов, результатов решения и заключения.

3. Варианты заданий

1.Предположим, что по периметру колеса русской рулетки расставлены числа от 1 до 8 и вероятности остановки колеса на каждом из этих чисел одинаковы. Игрок платит 5 долларов за возможность сделать не более четырех вращений колеса. Определить оптимальную стратегию игрока для каждого из четырех вращений и найдем соответствующий ожидаемый выигрыш.

2.Я хочу продать свой подержанный автомобиль тому, кто предложит наивысшую цену. Изучая автомобильный рынок, я пришел к выводу, что с равными вероятностями мне за автомобиль могут предложить очень низкую цена (около Д 050 долларов), просто низкую цену (около 1900 долларов), среднюю цену (около 2500долларов) либо высокую цену (примерно 3000 долларов). Я решил помещать объявление о продаже автомобиля на протяжении не более трех дней подряд. В конце каждого дня мне следует решить, принять ли наилучшее предложение, поступившее в течение этого дня. Какой должна быть моя оптимальная стратегия относительно принятия предложенной цены за автомобиль?

3.(1).Пусть в модели инвестирования объем инвестиции составляет С=10 000 долларов на 4-летний период. Необходимо разработать оптимальную стратегию инвестирования. Определите оптимальную инвестиционную политику в предположении, что вероятности рk и прибыли rк для следующих 4 лет принимают такие значения.

1 Подробное доказательство изложено в работе Wagner H. and Whitin T. "Dynamic Version of the Economic Lot Size Model", Management Science, Vol.5, 1958, pp. 89-96. Доказательство получено при ограничи-

вающем предположении, что затраты на единицу продукции постоянны и идентичны на всех этапах. Этотрезультат в дальнейшем был обобщен А. Вейнотгом (A. Veinott) из Станфордского университета для вогнутых функций затрат, имеющихместонакаждомэтапе.

8

4.(2).Камера объемом 10 кубических метров предназначена для хранения изделий трех наименований. Одно изделие наименований 1, 2, 3 занимает соответственно 2, 1 и 3 кубических метра. Вероятности спроса на эти изделия приведены в следующей таблице.

Стоимость хранения единицы изделия наименований 1, 2, 3 равна 8, 10 и 15 долларов соответственно. Сколько единиц изделий каждого наименования следует хранить в камере?

5.(3).Фирма с высокотехнологичным производством начала выпуск самых современных суперкомпьютеров в расчете на трехлетний период. Годовой спрос D на новый суперкомпьютер описывается распределением

p(D=1)=0,5, p(D=2)=0,3, p(D=3)=0,2.

Производственная мощность завода составляет три суперкомпьютера в год стоимостью 5 миллионов долларов каждый. Количество произведенных за год суперкомпьютеров может не совпадать в точности с объемом спроса. На нереализованный к концу года суперкомпьютер требуются затраты в 1 миллион долларов, связанные с его хранением и содержанием в исправности. Фирма терпит убытки в 2 миллиона долларов, если поставка суперкомпьютера откладывается на один год. Фирма не будет принимать новых заказов позже четвертого года, но будет продолжать выпуск суперкомпьютеров на протяжении пятого года, чтобы выполнить все заказы, оказавшиеся невыполненными к концу четвертого года. Определите оптимальные годичные объемы производства суперкомпьютеров.

6.(4).Компания владеет тремя спортивными центрами в деловой части города. На Пасху популярны велосипедные прогулки на открытом воздухе. В компании имеется восемь велосипедов, которые она может распределить между тремя центрами для их проката в целях максимизации доходов. Спрос на велосипеды и часовая стоимость их аренды зависят от месторасположения центра и характеризуются следующими данными.

Как компании распределить восемь велосипедов между тремя спортивными центра-

ми?

7.(1).Некий индивидуум планирует инвестировать 2 000 долларов. Имеющиеся варианты позволяют удвоить эту сумму с вероятностью 0,3 или потерять ее с вероятностью 0,7. Акции продаются в конце года, а в начале следующего года все деньги или их часть снова инвестируются. Этот процесс повторяется на протяжении трех лет. Целью является максимизация вероятности достижения суммы в 4 000 долларов в конце третьего года. Кроме этого этап 1 решения задачи показывает, что существует два альтернативных оптимума: у1=0 и у2=2. Покажите, что применение стратегии у1=2 (т.е. инвестировать все деньги в начале первого года) не изменяет результата инвестиционной политики на про-

9

тяжении трех лет, а именно, соответствующая максимальная вероятность достижения цели сохраняется равной 0,3.

8.(2).Решите задачу 7, если целью инвестора является максимизация вероятности достижения, по меньшей мере, суммы в 6 000 долларов к концу третьего года. Инвестор имеет в своем распоряжении 1000 долларов, и вероятность удвоения суммы на протяжении каждого года равна 0,6.

9.(3).Вы и ваш друг хотите сыграть в казино в следующую игру. Вы делаете определенную ставку, и каждый из вас независимо подбрасывает симметричную монету. За каждый доллар суммы ставки казино заплатит три доллара (что дает чистую прибыль в 2 доллара), если в результате подбрасывания выпадут две решки. Иначе вы теряете сумму ставки. Если вы с другом имеете в сумме один доллар, определите стратегию игры, считая, что целью является максимизация вероятности окончания трех игр с суммой в 4 доллара.

10.(6).Отель использует внешнюю прачечную для стирки полотенец. За день в отеле накапливается 600 грязных полотенец. Прачечная забирает эти полотенца и заменяетихчистыми через постоянные промежутки времени. Стоимость однократной доставки полотенец в прачечную и обратно равна 81 доллар. Стирка одного полотенца обходится в $0.60. Стоимость хранения в отеле грязного и чистого полотенец равна $0.02 и $0.01 соответственно. Как часто следует отелю пользоваться службой доставки полотенец? (Подсказка. В этой задаче имеется два типа складируемых предметов. Если количество грязных полотенец возрастает, то количество чистыхуменьшаетсясравнойинтенсивностью.)

11.(7).Дана задача управления запасами, в которой склад пополняется равномерно (вместо мгновенного пополнения) с интенсивностью а. Продукция потребляется с интенсивностью D. Так как потребление происходит наряду с периодом пополнения, необходимо, чтобы было a >D. Стоимость размещения заказа равна К, а стоимость хранения единицы продукции в единицу времени — h. Покажите, что еслиу — объем заказа и отсутствует дефицит, то

a)максимальный объем запаса равен y(1—D/a),

b)общиезатратывединицувременипризаданномуравны

c)экономичныйобъемзаказаравен

d)формулу экономичного объема заказа при мгновенном пополнении запаса можно получитьизформулывп. с).

12.(8).Фирма может производить изделие или покупать его у подрядчика. Если фирма сама выпускает изделие, то каждый запуск его в производство обходится в 20 долларов. Мощность производства составляет 100 единиц в день. Если изделие закупается, затраты на размещение каждого заказа равны 15 долларов. Затраты на содержаниеизделияна складе, независимооттого, закупаетсяоноилипроизводитсяна фирме, равны $0,02 в день. Потребление изделия фирмой оценивается в 260 000 единиц в год. Если предположить, что фирма работает без дефицита, определите, что выгоднее — закупать или производить изделия?

13.(2).Продукция используется с интенсивностью 30 единиц в день. Стоимость хранения единицы продукции равна 0,05 доллара в день, стоимость размещения заказа составляет 100 долларов. Предположим, что дефицит продукции не допускается, стоимость закупки равна 10 долларов за единицу продукции, если объем закупки не превышает 500 единиц, и 8 долларов в противном случае. Определите оптимальную стратегию управления запасамиприусловии, чтосроквыполнениязаказа равен 21 день.

14.(3).Комплектующие продаются по 25 долларов за единицу, но предлагается 10%скидка при покупке партии от 150 единиц и выше. Компания в день использует

10

20единиц комплектующих. Стоимость размещения заказа равна 50 долларов, стоимость хранения единицы товара составляет 0,30 доллара в день. Следует ли компании воспользоватьсяскидкой?

15.(2).Приведенные ниже данные относятся к задаче управления запасами для четырех видов продукции. Компания желает определить экономичный объем заказа для каждого из четырех видов продукции таким образом, чтобы суммарное количество заказов в год (365 дней) было не более 150.

16.(3). Решите предыдущее упражнение в предположении, что единственным ограничением является денежная сумма в 10 000 долларов, которая может быть инвестирована на приобретение запасов продукции. Стоимость закупки единицы продукции вида 1, 2, 3 и 4 равна соответственно 10, 5, 10 и 10 долларов.

17.(1). Компания производит специальные вытяжки, которые используются в домашних каминах в период с декабря по март. В начале отопительного сезона спрос на эту продукцию низкий, в середине сезона он достигает своего пика и уменьшается к концу сезона. Учитывая популярность продукции, компания может использовать сверхурочные работы для удовлетворения спроса на свою продукцию. Следующая таблица содержит данные о производственных мощностях компании и объемах спроса на протяжении четырех месяцев.

Стоимость производства единицы продукции равна 6 долларов в условиях обычного режима работы и 9 долларов при сверхурочных работах. Стоимость хранения единицы продукции на протяжении месяца равна 0,10 доллара.

Чтобы гарантировать допустимое решение при отсутствии дефицита, требуется, чтобы суммарное предложение продукции (возможности производства) к началу каждого месяца по меньшей мере равнялось суммарному спросу.

18.(2). Изделие производится для удовлетворения заданного спроса на четырех временныхэтапахвсоответствиисоследующимиданными.

Диапазон объема производства (единиУдельные производственные затраты на этапах ($)

a)Найдите оптимальное решение, определяющее количество изделий, которые необходимо изготовить на каждом из четырех этапов.

b)Предположим, что на этапе 4 требуется 10 дополнительных изделий. На каких этапах следует их изготовить?