§ 3. Пряма у просторі

1. Рівняння прямої у просторі. Найчастіше пряму у просторі задають як перетин двох непаралельних площин:

Це загальні рівняння прямої у просторі.

Нехай пряма проходить через точку в напрямі вектора . Цими умовами пряму визначено однозначно. Нехай – змінна точка прямої, а – її радіус-вектор. Позначимо через радіус-вектор точки . Тоді вектор колінеарний до вектора . За теоремою 1 попереднього розділу, існує таке число , що

. (33)

Векторне рівняння (33) прямої рівносильне трьом скалярним рівностям

(34)

звідки дістаємо параметричні рівняння прямої

(35)

З умови негайно дістаємо

. (36)

Отримана система двох рівнянь (36) називається канонічними рівняннями прямої у просторі.

2. Жмуток площин. Сукупність площин, кожна з яких проходить через фіксовану пряму, називається жмутком площин.

Нехай пряму задано загальними рівняннями

Очевидно, що рівняння

, (37)

де , – які-небудь числа, задає площину, яка проходить через пряму . З другого боку, надаючи , всеможливих числових значень, отримаємо сукупність всіх площин, що проходять через пряму , тобто жмуток площин. Рівняння (37) називається рівнянням жмутка.

Поділимо обидві частини рівняння (37) на і позначимо . Отримане рівняння

також називається рівнянням жмутка. Саме цей різновид рівняння жмутка площин широко використовується при розв’язуванні задач.

3. Відстань від точки до прямої. Для знаходження відстані від точки площини до прямої на цій площині, чи від точки простору до площини використовується нормальне рівняння прямої чи площини відповідно. У випадку прямої у просторі не існує аналогу нормального рівняння, тому таку задачу розв’язують інакше.

Нехай пряма у просторі проходить через задану точку у напрямі вектора і нехай точка не належить прямій . Знайти відстань від точки до прямої .

Позначимо через радіус-вектор точки , а через – радіус-вектор точки . Відстань від точки до прямої доцільно шукати зі співвідношення

.

Звідси,

.

4. Відстань між мимобіжними прямими. Нехай пряма проходить через точку в напрямі вектора , а пряма – через точку в напрямі вектора . Нехай прямі і мимобіжні. Тоді, вектори , не колінеарні, тому . Через пряму проходить єдина площина , паралельна до прямої , а через пряму можна провести єдину площину , паралельну до прямої . Віддаль між паралельними площинами і називається відстанню між мимобіжними прямими і . Відстань між площинами , доцільно шукати з такого співвідношення

.

Звідси,

.