- •Глава пятая. Интегральное исчисление для числовой функции одной переменной.
- •Первообразная и неопределенный интеграл.
- •5.2.Основные свойства неопределённого интеграла.
- •Интегрирование подстановкой.
- •5.5. Интегрирование по частям.
- •5. 6. Понятие определенного интеграла как предела интегральной суммы.
- •5.7. Формула Ньютона-Лейбница.
- •5.8. Основные свойства определённого интеграла.
- •5.9. Оценки определенного интеграла.
- •5.10. Теорема о среднем значении.
- •5.11. Вычисление определённых интегралов с помощью подстановки.
- •5.12. Вычисление определённых интегралов путём интегрирования по частям.
- •5.13. Практическая схема применения определенных интегралов для решения прикладных задач.
- •5.13.1. Вычисление площадей плоских областей.
- •5.13.2. Вычисление длины дуги плоской кривой.
- •5.13.3. Вычисление объёма и площади поверхности тела вращения.
- •5.13.4 Вычисление объёма тела с заданными площадями параллельных сечений.
- •5.14. Примеры физических приложений определённых интегралов.
- •5.15. Приближениое вычисление определённых интегралов.
- •5.15.1. Формула прямоугольников.
- •5.15.2. Формула трапеций.
- •5.15.3. Формула парабол.
- •5.16. Несобственные интегралы.
- •5.16.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •5.16.2 Несобственные интегралы от разрывных функций.
- •5.16.3. Теоремы о сходимости несобственных интегралов
- •Интеграл как функция пределов интегрирования. Понятие о специальных функциях, определяемых интегралами с переменным верхним пределом.
- •5.18. Понятие об интегралах, зависящих от параметра
- •5.19. Понятие о гамма-функции
- •Комплексные числа.
- •5.1. Основные понятия о комплексных числах.
- •5.2. Запись комплексных чисел в тригонометрической и
- •5.3. Разложение многочлена на множители в случае действительных и мнимых корней.
- •5.4. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби
- •Глава шестая. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы; элементы теории поля.
- •Понятие об интеграле по замкнутой ограниченной области
5.12. Вычисление определённых интегралов путём интегрирования по частям.
Формула интегрирования по частям для определённого интеграла выводится очень просто
т.е.
(5.12.1)
П р и м е р:
Задание для самостоятельного решения.
Найдите средние значения функций:
а) на отрезке
б) на отрезке и
Сила переменного тока изменяется по закону
Найдите среднее значение силы тока за полупериод.
Оцените интегралы:
а) б)
Подумайте, можно ли вычислить определённые интегралы с помощью указанных подстановок:
а)
б)
Покажите справедливость приводимого ниже рекуррентного соотношения путем интегрирования по частям:
если
Вычислите
5.13. Практическая схема применения определенных интегралов для решения прикладных задач.
Пусть некоторая величина Q распределена вдоль отрезка , причем Q(x) выражает значение Q на отрезке Тогда для Q можно ввести понятие линейной плотности:
где - количество рассматриваемой величины на отрезке длиной
Имеем
т.е.
(5.13.1)
Произведя стандартное разбиение отрезка на n частей, будем иметь равенство (5.13.1) для n точек
откуда следует, что
Обозначив
получим
т.е.
(5.13.2)
Таким образом, из равенства (5.13.1) следует (5.13.2), и мы получили широко используемое правило применения определенных интегралов:для вычисле-ния величины распределенной вдоль отрезка с линейной плотностью достаточно воспользоваться импликацией:
(5.13.3)
При использовании формулы (5.13.3) плотность на элементарном отрезке длиной dx можно считать постоянной (она совпадает с где
5.13.1. Вычисление площадей плоских областей.
Если кривые, ограничивающие область, заданы обычными уравнениями в декартовых координатах (рис. 5.7), то площадь S области вычисляем с помощью (5.13.3):
Короче это записывают так: (5.13.4)
п
d S
y
S
x
0
a
b
d x
Рис. 5.7
Если кривая задана в декартовых координатах параметрическими уравнениями, то площадь соответствующей криволинейной трапеции вычисляется с помощью замены переменной интегрирования
где либо известны из формулировки задачи, либо их находят из уравнений
Пусть теперь кривая задана в полярных координатах уравнением , требуется вычислить площадь сектора, показанного на рис. 5.8
S
ρ=f(φ)
β
α
Рис. 5.8
Поскольку элементарный сектор аппроксимируется круговым, то
Отсюда согласно (5.13.3)
или, короче,
(5.13.5)
П р и м е р: Найти площадь, ограниченную лемнискатой Бернулли (рис. 5.9).
Данная кривая имеет две симметричные относительно полюса ветви Поэтому достаточно рассмотреть лишь одну ветвь Нетрудно видеть, что
и вся ветвь расположена в секторе (рис. 5.9). Поэтому согласно (5.13.5)
0
N
a
Рис. 5.9
Задание для самостоятельного решения.
Подумайте, как вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми и кривой если f(x) на отрезке изменяет знак.
Найдите площади фигур, ограниченных линиями:
а)
б)
в)
Найдите площади фигур, ограниченных линиями:
а) кардиоидой
б) окружностями
в) первым витком спирали Архимеда и полярной осью;
г) трехлепестковой розой
Сделайте чертежи.
Вычислите площади фигур, ограниченных
а) эллипсом
б) астроидой
в) первой аркой циклоиды и осью ОХ.