- •Глава пятая. Интегральное исчисление для числовой функции одной переменной.
- •Первообразная и неопределенный интеграл.
- •5.2.Основные свойства неопределённого интеграла.
- •Интегрирование подстановкой.
- •5.5. Интегрирование по частям.
- •5. 6. Понятие определенного интеграла как предела интегральной суммы.
- •5.7. Формула Ньютона-Лейбница.
- •5.8. Основные свойства определённого интеграла.
- •5.9. Оценки определенного интеграла.
- •5.10. Теорема о среднем значении.
- •5.11. Вычисление определённых интегралов с помощью подстановки.
- •5.12. Вычисление определённых интегралов путём интегрирования по частям.
- •5.13. Практическая схема применения определенных интегралов для решения прикладных задач.
- •5.13.1. Вычисление площадей плоских областей.
- •5.13.2. Вычисление длины дуги плоской кривой.
- •5.13.3. Вычисление объёма и площади поверхности тела вращения.
- •5.13.4 Вычисление объёма тела с заданными площадями параллельных сечений.
- •5.14. Примеры физических приложений определённых интегралов.
- •5.15. Приближениое вычисление определённых интегралов.
- •5.15.1. Формула прямоугольников.
- •5.15.2. Формула трапеций.
- •5.15.3. Формула парабол.
- •5.16. Несобственные интегралы.
- •5.16.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •5.16.2 Несобственные интегралы от разрывных функций.
- •5.16.3. Теоремы о сходимости несобственных интегралов
- •Интеграл как функция пределов интегрирования. Понятие о специальных функциях, определяемых интегралами с переменным верхним пределом.
- •5.18. Понятие об интегралах, зависящих от параметра
- •5.19. Понятие о гамма-функции
- •Комплексные числа.
- •5.1. Основные понятия о комплексных числах.
- •5.2. Запись комплексных чисел в тригонометрической и
- •5.3. Разложение многочлена на множители в случае действительных и мнимых корней.
- •5.4. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби
- •Глава шестая. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы; элементы теории поля.
- •Понятие об интеграле по замкнутой ограниченной области
5.3. Разложение многочлена на множители в случае действительных и мнимых корней.
Уравнение вида где - многочлен степени n, называется алгебраическим уравнением n-ой степени (n-ого порядка).
Теорема 1 (основная теорема алгебры). Всякое алгебраическое уравнение имеет, по крайней мере, один действительный или мнимый корень.
Эту теорему мы принимаем без доказательства.
Заметим, что коэффициенты многочлена могут быть мнимыми.
Теорема 2 (Безу). При делении многочлена на разность получается остаток, равный
Для доказательства запишем тождество, соответствующее условию теоремы 2:
(5.3.1)
(здесь через r обозначен остаток от деления на ).
Полагая в (5.3.1) получаем
что и требовалось доказать.
Следствие. Если число с является корнем многочлена , то он делится на разность без остатка.
Действительно,
Теорема 3. Всякий многочлен разлагается в произведение п линейных сомножителей вида и множитель, равный коэффициенту при
Пусть
и - корень уравнения =0. Тогда согласно теореме Безу разделится на без остатка:
т.е.
Далее, пусть - корень уравнения (такой корень, как и существует в силу основной теоремы алгебры). Тогда аналогично предыдущему
где имеет в качестве коэффициента при старшей степени х величину Таким образом, имеем
Если продолжить цикл рассуждений, то мы придем к равенству
(5.3.2)
которое и следовало доказать.
Заметим, что с введением комплексных чисел изменяется взгляд на разрешимость уравнения =0: оно всегда имеет ровно п корней.
Среди корней многочлена могут быть кратные. Поэтому вместо (5.3.2) удобнее записать равенство
(5.3.3)
где среди чисел нет одинаковых, а
Число называется кратностью корня .
Если все числа являются действительными, то формула (5.3.3) дает искомое разложение многочлена на линейные множители.
Однако, среди чисел могут быть и мнимые.
Оказывается, что если многочлен имеет только действительные коэффициенты, то все его мнимые корни образуют сопряженные пары.
Теорема 4. Если комплексное число - корень многочлена с действительными коэффициентами, то сопряженное число тоже является корнем этого многочлена.
Для доказательства образуем многочлен
=
Этот многочлен имеет действительные коэффициенты. Поэтому при делении на в остатке может получиться только линейная функция с действительными коэффициентами:
При из этого тождества получаем
т.е.
откуда Таким образом, многочлен делится на квадратный трехчлен (5.3.4) без остатка и, следовательно, число является его корнем.
На основании теоремы 4 разложение (5.3.3) в общем случае следует записывать так:
(5.3.5)
где
5.4. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби
Представление многочлена в виде (5.3.5) используется при разложении правильной рациональной дроби на элементарные слагаемые вида
Считая, что знаменатель согласно (5.3.5) может содержать линейные и квадратичные множители, т.е.
записывают разложение данной дроби на элементарные
постоянные находят методом неопределённых коэффициентов из системы уравнений, которая получается в результате приравнивания к числителю дроби, стоящей в правой части (5.4.1), после приведения последней к общему знаменателю и сравнения коэффициентов при одинаковых степенях х.
Пример. Разложим на элементарные слагаемые дробь
Согласно (5.3.6) имеем
Тогда
Сравнивая коэффициенты многочленов, стоящих в левой и правой частях равенства, находим
Следовательно,
Приведенная схема разложения правильной рациональной дроби на элементарные слагаемые будет использована на практических занятиях при вычислении интегралов от рациональных дробей и в ряде других случаев.