3. Интегрирование подстановкой.

Выполним в интеграле формальную замену переменной интегрирования

(5.4.1)

Проверим полученную формулу, вычислив производные по x от левой и правой частей равенства:

Таким образом, формула (5.4.1) доказана. При этом считалось, что

Формула (5.4.1) выражает метод интегрирования подстановкой, или метод замены переменной интегрирования. Этот метод целесообразно использовать в тех случаях, когда интеграл в правой части равенства (5.4.1) проще, чем в левой части. После вычисления нового интеграла приходится возвращаться к старой переменной, для чего находят обратную функцию

П р и м е р:

1. 

2. 

3. 

Подстановки, использованные в приведенных примерах, весьма просты, и их следует научиться выполнять «в уме» не производя записей с переменной t.

Заметим, что формула (5.4.1) оправдывает казалось бы излишне сложное обозначение неопределённого интеграла (сравнить с обозначением производной).

Задание для самостоятельного решения.

1. Вычислить следующие интегралы методом подстановки:

1. 

2. 

3. (подстановка );

4. (подстановка );

5. (подстановка );

6. (подстановка );

7. (подстановка );

8. (подстановка );

9. (подстановка );

10. (подстановка );

2. Вычислить интегралы и проверить результаты дифференцированием:

1) 2)

3) 4)

3. Используя «универсальную тригонометрическую» подстановку, вычислите интегралы:

1) 2)

(подстановка

5.5. Интегрирование по частям.

Второй из основных методов интегрирования базируется на формуле, выражающей дифференциал произведения:

Отсюда имеем

или рассматривая левую и правую части равенства как подынтегральные выражения, получаем

(5.5.1)

Произвольная постоянная в правой части равенства не пишется (почему?).

Формула (5.5.1) выражает метод интегрирования по частям. Этот метод уместно использовать в тех случаях, когда функция u(x) при дифференцировании упрощается. Поэтому в качестве u(x) выбирают функции и т.п.

П р и м е р. Вычислить интеграл

Решение выглядит следующим образом:

=

=

Следует обратить внимание на то, как усложняется вид функции при действии на неё оператора интегрирования. Это явление является типичным.

Задание для самостоятельного решения.

1. Интегрированием по частям найти следующие интегралы:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

2. Как вычислить интегралы вида:

если степень многочлена выше единицы?

5. 6. Понятие определенного интеграла как предела интегральной суммы.

Пусть и поставлена известная из школьного курса задача о вычислении площади криволинейной трапеции (рис. 5.2).

y=f(x)

О

а b x

y

Рис. 5.2

Разобьем отрезок на n частей (не обязательно равных по длине). Абсциссы границ полученных частей обозначим через (рис. 5.3). Выберем, далее, точки где , и образуем выражение

(5.6.1)

З

у= f(x)

десь - длина i – ой части отрезка .

y

x

0

Рис. 5.3

Величина называется интегральной суммой. Очевидно, что выражает площадь ступенчатой фигуры (рис. 5.3), которая заштрихована.

Если выбрать точки так, что

ступенчатая фигура окажется вложенной в криволинейную трапецию. Если же, наоборот, подобрать таким образом, чтобы

то криволинейная трапеция окажется вложенной в такую ступенчатую фигуру.

При разности тоже стремятся к нулю, и интуитивно ясно, что величина независимо от того, как x

производится разбиение отрезка на части и каким образом выбираются точки для каждой из этих частей. Величина

(5.6.2)

называется определённым интегралом от функции f(x) по отрезку , а –называется нижним пределом интегрирования, b – верхним пределом интегрирования.

В формуле (5.6.2) понятие предела уточнить, так как зависит от переменного количества аргументов:

Делается это следующим образом:

Определенный интеграл отображает функцию на число т.е. является функционалом из С в R.

Если то величину определенного интеграла естественно принять за площадь криволинейной трапеции , так как

Можно доказать, что если , то определенный интеграл (5.6.2) существует.

Задание для самостоятельного решения.

1. Запишите выражение площади полукруга радиуса r с центром в начале координат в виде определенного интегралаю

2. Приведите примеры из физики, химии, механики, когда приходится рассматривать определенный интеграл.

3. Подумайте, существует ли определенный интеграл от функции Дирихле