§ 3.3 Энергетические характеристики случайных процессов.

При изучении детерминированных процессов очень широко используется аппарат гармонического анализа: ряды и интеграл Фурье для периодических и непериодических сигналов соответственно. Этот аппарат сравнительно прост и весьма эффективен. Очевидно, подобный аппарат весьма полезен был бы при изучении случайных процессов. Однако, именно случайность не позволяет использовать классический аппарат гармонического анализа к таким процессам непосредственно. Это объясняется следующим. Каждая из реализации случайного процесса, как отмечалось выше, является детерминированной функцией, для которой с помощью аппарата Фурье можно найти спектральную плотность. Однако, как в теории, так и на практике очень часто интерес представляет не научение отдельных реализации, а их ансамблей, т.е. случайных процессов в целом. Поскольку для отдельных реализации спектральные плотности различны, то для процессов в целом определенная таким образом спектральная плотность будет величиной случайной. Можно было бы попытаться определить спектральную плотность как среднее значение спектральных плотностей всех реализации случайного процесса. Однако, такое усреднение было бы неудачным. Действительно, среди реализации случайного процесса наверняка будут и такие пары реализации, для которых спектральные плотности будут равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Если такие реализации имеют равную вероятность, то среднее значение спектральной плотности для них будет равно нулю. Следовательно, определенная таким образом средняя спектральная плотность не будет описывать свойства случайного процесса. Более того, случайный процесс может иметь такие реализации, которые не будут удовлетворять условию абсолютной интегрируемости

являющемся необходимым для существования преобразования Фурье.

Тем не менее спектральные представления можно использовать и для случайных процессов, если вместо спектральной плотности амплитуд ввести понятие спектральной плотности мощности процесса. Определим ее.

Пусть имеется реализация стационарного случайного процесса, а- усеченная реализация, совпадающая св интервалеи равная нулю вне этого интервала. Для усеченной реализации случайного процесса как детерминированной функции можно определить спектральную плотность преобразованием Фурье:

(3.3.1)

Функция является случайной функцией и зависит от интервала времениТ и номера реализации. Если – напряжение или ток на нагрузке в 1 Ом, то функция

(3.3.2)

согласно (2.1.28) будет определять энергию процесса в полосе частот . Эта функция также случайна. Для получения неслучайной функции последнее выражение необходимо усреднить по всем возможным реализациям и, кроме того, перейти к пределу при. Неслучайная функция

(3.3.3)

имеющая размерность мощности на единицу полосы частот, называется спектральной плотностью мощности или энергетическим спектром стационарного случайного процесса. Энергетический спектр можно определить даже тогда, когда реализации случайного процесса абсолютно неинтегрируемы и обычное преобразование Фурье для которых не существует. Введение энергетического спектра вместо спектральной плотности амплитуд и является обобщением гармонического анализа на случайные процессы. Более строго энергетический спектр стационарного случайного процесса определяется теоремой Xинчина-Винера, согласно которой энергетический спектр и корреляционная функция являются парой преобразований Фурье:

(3.3.4)

(3.3.5)

Следовательно, энергетический спектр стационарного случайного процесса является обычным амплитудным, спектром корреляционной функции. Поскольку последняя не учитывает фазовых соотношений между гармоническими составляющими процесса, то не учитывает их и энергетический спектр. Он дает только усредненную картину распределения средней мощности процесса по частотам элементарных гармонических составляющих.

Заметим теперь, что , как и, - четная функция частоты и, кроме того, неотрицательна. Это означает, что в приведенных выше выражениях понятие спектральной плотности средней мощности процесса распространяется на все действительные частоты отдо. физический смысл имеют только положительные частоты. Следовательно, каждая реальная спектральная компонента с интенсивностьюразбивается на две равные по интенсивности компонентыи, так что общий энергетический спектр, распространенный на отрицательные частоты, становится четной функцией частоты.

Приведенные выражения для энергетического спектра и корреляционной функции справедливы только для абсолютно интегрируемых функций и, т.е. удовлетворяющих условиям

Эти условия ограничивают применимость теоремы Хинчина-Винера только для стационарных случайных процессов с нулевыми средними значениями и без квазидетерминированных составляющих.

Из (3.3.5) при получим

(3.3.6)

Следовательно, средняя мощность стационарного случайного процесса равна площади под кривой его энергетического спектра, определенной на 2π. Это выражение аналогично равенству Парсеваля (2.1.28) для детерминированных процессов. Мощность процесса в узкой полосе частот будет равна

(3.3.7)

Для спектральной плотности средней мощности стационарного случайного процесса при из (3.3.4) получим

(3.3.8)

т.е. она равна площади под кривой его корреляционной функции.

Часто используют понятие ширины спектра случайного процесса . Наиболее удобным ее определением является ширина равномерного в полосе частотэнергетического спектра процесса, эквивалентного данному по средней мощности, то есть

(3.3.9)

где - некоторая характерная для этого процесса частота (рис. 3.16).

Корреляционная функция и энергетический спектр стационарного случайного процесса как пара преобразований Фурье обладают всеми присущими этому преобразованию свойствами. Например, чем шире спектр случайного процесса, тем уже его корреляционная функция и наоборот. Можно считать, что произведение интервала корреляции на ширину энергетического спектраесть величина постоянная для семейства энергетических спектров заданной формы:

(3.3.10)

В частности, для случайных процессов, корреляционные функции которых всегда положительны, т.е. полностью расположены выше оси абсцисс (см. рис. 3.8), опуская в выражении (3.2.23) знак модуля и используя (3.3.8) и (3.3.9), получим

или (3.3.11)