Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лекции по теории вероятностей

.PDF
Скачиваний:
63
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
769.22 Кб
Скачать

своего среднего значения, при суммировании эти отклонения «взаимно гасятся», так что среднее арифметическое приближается к постоянной величине.

В дальнейшем мы увидим, что требование конечности второго момента (или дисперсии) связано исключительно со способом доказательства, и что утверждение остается верным если требовать существования только первого момента.

Доказательство. Обозначим через Sn = 1 + + n сумму первых n с. в., а через

Sn

=

1 + + n

— их среднее арифметическое. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

nn

 

 

 

1 + n +

 

n

= n n 1

 

= E 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

E

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

Пусть " > 0. Воспользуемся неравенством Чебыш¸ва (следствие 16):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sn

 

 

 

Sn

 

 

 

 

D

nn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P n E

n

 

> "

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

"2

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

независ.

 

 

 

 

 

 

од.распред.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

D Sn

 

 

 

=

 

D 1 + + D n

=

 

n D 1

=

D 1

!

0

(23)

 

 

 

 

 

 

n2"2

 

 

 

 

 

n"2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n2"2

 

 

 

 

 

n2"2

 

 

при n ! 1, поскольку D 1, по условию, конечна.

Замечание 24. Мы не только доказали сходимость, но и получили оценку для вероятности среднему арифметическому любого числа независимых и одинаково распределенных величин отличаться от E 1 более чем на заданное число:

P

 

 

1

+

n

+

n E 1

> "

6 n"2 :

(24)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предлагаю, кроме того, читателям извлечь из неравенства (23) в доказательстве ЗБЧ Чебыш¸ва доказательство следующего утверждения.

Следствие 18. Последовательность с. в. f ig1i=1 с конечными вторыми моментами удовлетворяет ЗБЧ, то есть

nn

E

nn

= 1 + n + n

S

 

 

S

 

 

 

E 1 + + E n

p

0

ïðè n

 

 

!

! 1

n

 

 

при выполнении любого из следующих условий:

à) åñëè D Sn = o(n2), òî åñòü D Sn ! 0 ïðè n ! 1; n2

á) åñëè 1; 2; : : : независимы и D Sn = D 1 + + D n = o(n2), òî åñòü

D 1 + + D n

!

0 ïðè n

! 1

;

n2

 

 

â) åñëè 1; 2; : : : независимы, одинаково распределены и имеют конечную дисперсию (ЗБЧ Чебыш¸ва).

Скоро мы докажем (иными методами, чем А. Я. Хинчин) следующее утверждение.

80

Теорема 30 (ЗБЧ в форме Хинчина).

Для любой последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин с конечным первым моментом E j 1j < 1 имеет место сходимость:

1 + + n

p

E

:

!

n

1

 

Более того, в условиях теоремы 30 имеет место «почти наверное» сходимость ( 1 + +n)=n ê E 1. Но этого мы уже доказывать не будем.

Получим в качестве следствия из ЗБЧ Чебыш¸ва закон больших чисел Я. Бернулли (1713). В отличие от доказанного через полтора столетия ЗБЧ Чебыш¸ва, описывающего предельное поведение среднего арифметического с. в. с произвольными распределениями, ЗБЧ Бернулли — утверждение только для схемы Бернулли.

Теорема 31 (ЗБЧ Бернулли).

Пусть A — событие, которое может произойти в любом из n независимых испытаний с одной и той же вероятностью P(A). Пусть n(A) — число осуществлений

 

 

 

 

 

n(A) p

 

 

 

события A â n испытаниях. Тогда

 

 

! P(A). При этом для любого " > 0

n

 

P

 

n

 

P(A)

 

6

n"2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Заметим, что n(A) есть сумма независимых, одинаково распределенных с. в., имеющих распределение Бернулли с параметром, равным вероятности успеха P(A) (индикаторов того, что в соответствующем испытании произошло A):

(A) =

+

+ ;

 

= I (A) =

1;

если A произошло в i м испытании;

n

1

n

i

i

(0;

если A не произошло в i

 

м испытании;

 

E 1 = P(A); D 1 = P(A)(1 P(A)).

Осталось воспользоваться ЗБЧ в форме Чебыш¸ва и неравенством (24) из замечания

24.

Рассмотрим примеры использования ЗБЧ в форме Чебыш¸ва, вернее, неравенства (24).

13.4Примеры использования ЗБЧ и неравенства Чебыш¸ва

Пример 48.

З а д а ч а. Монета подбрасывается 10 000 раз. Оценить вероятность того, что частота

выпадения герба отличается от вероятности более чем на одну сотую.

= i=1 i

Р е ш е н и е. Требуется оценить P

n

2

 

> 0;01 , ãäå n = 104, n

 

 

n

1

 

 

P

n

 

 

 

 

 

 

 

 

число выпадений герба, а i — независимые

ñ. â.,

имеющие распределение Бернулли

81

с параметром 1/2, равные «числу гербов, выпавших при i-м подбрасывании» (то есть единице, если выпал герб и нулю иначе, или индикатору того, что выпал герб). Поскольку D 1 = 1=2 1=2 = 1=4, искомая оценка сверху выглядит так:

P

nn

2

> 0;01 6 n 0;012

= 4 104

 

10 4

= 4:

 

 

S

1

 

D

1

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Иначе говоря, неравенство Чебыш¸ва позволяет заключить, что, в среднем, не более чем в четверти случаев при 10 000 подбрасываниях монеты частота выпадения герба будет отличаться от 1/2 более чем на одну сотую. Мы увидим, насколько это грубая оценка, когда познакомимся с центральной предельной теоремой.

Пример 49.

З а д а ч а. Пусть 1; 2; : : : — последовательность случайных величин, дисперсии которых ограничены одной и той же постоянной C, а ковариации любых с. в. i è j (i 6= j), не являющихся соседними в последовательности, равны нулю. Удовлетворяет ли эта последовательность ЗБЧ?

Р е ш е н и е. Воспользуемся неравенством (23) и свойством 14:

 

Sn

 

Sn

 

 

D

nn

 

D Sn

 

 

n

 

 

 

P n

E n > "

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

"2

 

= n2"2

;

D ( 1 + : : : + n) =

i=1

D i + 2 i<j

cov( i; j):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Íî äëÿ

i < j, по условию,

cov( i; j) = 0, если i 6= j 1. Следовательно, в сумме

i<j cov( i; j)

P

равны нулю все слагаемые кроме, может быть, cov( 1; 2); cov( 2; 3); : : : ; cov( n 1; n) (их ровно n 1 штука).

Оценим каждое из них, используя одно из свойств коэффициента корреляции (какое?)

p p p p

cov( i; j) 6 D i D j 6 C C = C;

так как для любого 1 6 i 6 n, по условию, D i 6 C. Èòàê,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

P

nn

E

nn

> " 6 n2"2

=

 

D i

+ 2

cov( i; j)

 

i=1

n2"2

=

 

 

S

 

 

S

 

 

D Sn

 

 

i<j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nn 1

XX

 

D i

+ 2

cov( i; i+1)

nC + 2(n 1)C

 

 

= i=1

i=1

 

6

!

0

 

 

n2"2

 

n2"2

 

при n ! 1, то есть последовательность 1; 2; : : : удовлетворяет ЗБЧ.

Упражнение 27.

Привести пример последовательности с. в. 1; 2; : : : такой, что ковариации «несоседних» величин равны нулю.

Привести пример последовательности с. в. 1; 2; : : : такой, что ковариации «несоседних» величин равны нулю, а ковариации соседних — не равны. Можно попробовать построить такую последовательность с помощью другой последовательности, составленной из независимых с. в.

82

... Из этой первой лекции по теории вероятностей я запомнил только полузнакомый термин «математическое ожидание». Незнакомец употреблял этот термин неоднократно, и каждый раз я представлял себе большое помещение, вроде зала ожидания, с кафельным полом, где сидят люди с портфелями и бюварами и, подбрасывая время от времени к потолку монетки и бутерброды, сосредоточенно чего-то ожидают. До сих пор я часто вижу это во сне. Но тут незнакомец оглушил меня звонким термином «предельная теорема Муавра — Лапласа» и сказал, что все это к делу не относится.

Аркадий и Борис Стругацкие, Стажеры

Раздел 14. ЦПТ (центральная предельная теорема)

Sn

сходится к E 1?

14.1 Как быстро

 

n

 

 

Пусть, как в законе больших чисел в форме Чебыш¸ва, Sn = 1 + : : : + n — сумма n независимых и одинаково распределенных величин с конечной дисперсией. Тогда, в силу

 

Sn

p

 

 

 

 

ÇÁ×,

 

! E 1

с ростом n. Или, после приведения к общему знаменателю,

n

 

 

 

 

Sn n E 1

p

0:

 

 

 

!

 

 

 

n

 

 

 

 

 

Если при делении на n мы получили в пределе нуль (в смысле некоторой, все равно какой, сходимости), резонно задать себе вопрос: а не слишком ли на «много» мы поделили? Нельзя ли поделить на что-нибудь, растущее к бесконечности медленнее, чем n, чтобы получить в пределе не нуль (и не бесконечность, само собой)?

Можно поставить этот вопрос по-другому. Вот последовательность, стремящаяся (както) к нулю. Можно ли ее домножить на что-либо растущее, чтобы «погасить» это стремление к нулю? Получив, тем самым, что-нибудь конечное и отличное от нуля в пределе?

 

pn

 

 

 

n

Оказывается, что уже

Sn n E 1

, или, что то же самое,

pn

 

Sn n E 1

, не сходится

 

 

 

 

 

к нулю. Распределение этой, зависящей от n, случайной величины становится все более похоже на нормальное распределение! Можно считать, что такая последовательность сходится к случайной величине, имеющей нормальное распределение, но сходится не по вероятности, а только в смысле сходимости распределений, или «слабой сходимости».

14.2Слабая сходимость

Пусть задана последовательность с. в. f ng, задано некоторое распределение F с функцией распределения F и — произвольная с. в., имеющая распределение F.

Определение 52. Говорят, что последовательность с. в. f ng ïðè n ! 1 сходится слабо èëè по распределению к с. в. , или говорят, что последовательность с. в. слабо сходится к распределению F, или говорят, что распределения с. в. f ng слабо сходятся к распределению F, и пишут: n ) , èëè F n ) F , èëè n ) F, если для любого x такого, что функция распределения F непрерывна в точке x, имеет место сходимость

F n (x) ! F (x) ïðè n ! 1.

83

Иначе говоря, слабая сходимость — это поточечная сходимость функций распределения во всех точках непрерывности предельной функции распределения.

Необходимо заметить, что запись « n ) » удобна, но не всегда разумна: если «предельную» с. в. заменить на другую с. в. с тем же распределением, ничего не изменится: в

том же смысле n ) . Поэтому слабая сходимость все же не есть сходимость случайных величин, и ей нельзя оперировать как сходимостями п.н. и по вероятности, для которых

предельная с.в. единственна (хотя бы с точностью до значений на множестве нулевой

вероятности).

Следующее свойство очевидно. Если нет - вам нужно вернуться к разделу 7 и вспомнить, что такое функция распределения.

Свойство 18. Åñëè n ) , и функция распределения F непрерывна в точках a è b, òî P( n 2 [a; b]) ! P( 2 [a; b]) и т.д. (продолжить ряд). Наоборот, если во всех точках a è b непрерывности функции распределения F имеет место, например, сходимость P( n 2

[a; b]) ! P( 2 [a; b]), òî n ) .

Следующее важное свойство уточняет отношения между сходимостями.

Свойство 19.

p

p

1. Åñëè n ! , òî n ) .

2. Åñëè n ) c = const, òî n ! c.

Доказательство. Первое свойство мы доказывать не будем.

Докажем, что слабая сходимость к постояннной влечет сходимость по вероятности. Пусть

F n (x) ! Fc(x) =

(1;

x > c

 

0;

x 6 c;

при любом x, являющемся точкой непрерывности предельной функции Fc(x), òî åñòü ïðè âñåõ x 6= c.

Возьмем произвольное " > 0 и докажем, что P(j n cj 6 ") ! 1. Раскроем модуль:

P( " 6 n c 6 ") = P(c " 6 n 6 c + ") >

(сужаем событие под знаком вероятности)

> P(c " 6 n < c + ") = F n (c + ") F n (c ") ! Fc(c + ") Fc(c ") = 1 0 = 1;

поскольку в точках c " функция Fc непрерывна, и, следовательно, имеет место сходимость

последовательности F n (c ") ê Fc(c ").

Осталось заметить, что P(j n cj 6 ") не бывает больше 1, так что по лемме о двух милиционерах P(j n cj 6 ") ! 1.

Следующее свойство приводит пример операций, которые можно применять к слабо сходящимся последовательностям — скажем, домножать их на последовательности, сходящиеся по вероятности к постоянным величинам.

Желание написать «если n ) и n ) , то n + n ) + » сразу проходит, стоит перевести это «свойство» на язык функций распределения и задуматься — что такое

«функция распределения суммы », когда вместо них можно брать любые другие ~ и

+ ~

с теми же распределениями, как угодно зависимые. Иное дело — когда одно из предельных распределений вырождено. В этом случае функция распределения суммы или произведения определена однозначно.

84

Свойство 20.

p

1. Åñëè n ! c = const è n ) , òî n n ) c .

p

2. Åñëè n ! c = const è n ) , òî n + n ) c + .

Доказательство. Заметим прежде всего, что если n ) , òî c n ) c , c + n ) c + (доказать!). Поэтому (и в силу соответствующих свойств сходимости по вероятности) достаточно доказать первое утверждение свойства 20 при c = 1, а второе утверждение — при c = 0.

p

Докажем второе утверждение, оставив первое читателю. Пусть n ! 0 è n ) . Докажем, что n + n ) . Пусть x0 — точка непрерывности функции распределения F (x). Требуется доказать, что тогда имеет место сходимость F n+ n (x0) ! F (x0). Зафиксируем достаточно маленькое " > 0 такое, что F (x) непрерывна в точках x0 ".

F n+ n (x0) = P( n + n < x0) = P( n + n < x0; j nj > ") + P( n + n < x0; j nj 6 ") = P1 + P2:

Оценим P1 + P2 сверху и снизу. Для P1 имеем: 0 6 P1 = P( n + n < x0; j nj > ") 6 P(j nj > "); и последняя вероятность может быть выбором n сделана сколь угодно малой.

Äëÿ P2, с одной стороны,

P2 = P( n + n < x0; " 6 n 6 ") 6 P( " + n < x0) = P( n < x0 + "):

Здесь первое неравенство следует из очевидного соображения:

если " 6 n и n + n < x0, то, тем более, " + n < x0.

С другой стороны,

P2 = P( n + n < x0; " 6 n 6 ") > P(" + n < x0; " 6 n 6 ") >

> P(" + n < x0) P(j nj > ") = P( n < x0 ") P(j nj > "):

Здесь первое неравенство объясняется включением f"+ n < x0g\f " 6 n 6 "g f n + n < x0g \ f " 6 n 6 "g — просто заменим в событии f" + n < x0g число " на n, òàê êàê n 6 ". Второе неравенство следует из свойств:

P(AB) 6 P(B); поэтому P(AB) = P(A) P(AB) > P(A) P(B):

Итак, мы получили оценки снизу и сверху для P1 + P2, òî åñòü äëÿ F n+ n (x0):

P( n < x0 ") P(j nj > ") 6 F n+ n (x0) 6 P(j nj > ") + P( n < x0 + ");

èëè

F n (x0 ") P(j nj > ") 6 F n+ n (x0) 6 P(j nj > ") + F n (x0 + "):

Устремляя n к бесконечности, и вспоминая, что x0 " — точки непрерывности функции распределения F , получим

F (x0 ") 6 limF n+ n (x0) 6 limF n+ n (x0) 6 F (x0 + "):

И поскольку эти неравенства верны для любого достаточно малого ", а x0 — точка непрерывности функции F , то, устремив " к нулю, получим, что нижний и верхний пределы F n+ n (x0) при n ! 1 совпадают и равны F (x0).

Несколько содержательных примеров слабой сходимости мы рассмотрим в следующей главе. Но основной источник слабо сходящихся последовательностей и необычайно мощное и универсальное средство для асимптотического анализа распределений сумм незави-

85

симых и одинаково распределенных случайных величин предоставляет нам

Ö Å Í Ò Ð À Ë Ü Í À ß Ï Ð Å Ä Å Ë Ü Í À ß Ò Å Î Ð Å Ì À

14.3Центральная предельная теорема

Мы будем называть следующее утверждение «ЦПТ А. М. Ляпунова» (1901), но сформулируем и докажем теорему Ляпунова только в частном случае — для последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин.

Теорема 32 (ЦПТ).

Пусть 1; 2; : : : — независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией: 0 < D 1 < 1. Обозначим через Sn сумму первых

Sn n E 1 n случайных величин: Sn = 1 + : : : + n. Тогда последовательность с. в. p

n D 1

слабо сходится к стандартному нормальному распределению.

Пользуясь определением и свойствами слабой сходимости, и заметив, что функция распределения a; 2 (x) любого нормального закона непрерывна всюду на R (почему?), утверждение ЦПТ можно сформулировать любым из следующих способов:

Следствие 19. Пусть 1; 2; : : : — независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией. Следующие утверждения эквивалентны друг другу и равносильны утверждению ЦПТ.

Для любых вещественных x < y ïðè n ! 1 имеет место сходимость

 

 

pn D 1

!

 

 

 

 

 

 

 

y

p2

 

 

 

0;1

 

 

0;1

 

Zx

 

P

x <

Sn n E 1

< y

 

 

 

(y)

 

 

 

(x) =

 

1

e t2=2 dt;

 

 

 

 

 

 

 

Для любых вещественных x < y ïðè n ! 1 имеет место сходимость

 

 

6

pn D 1

6

 

!

 

0;1

 

 

 

0;1

 

y

p2

 

 

 

 

 

 

Zx

 

P

x

 

Sn n E 1

 

y

 

 

 

(y)

 

 

 

(x) =

 

1

e t2=2 dt;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для любых вещественных x < y ïðè n ! 1 имеет место сходимость

P

x 6

n pn

1

6 y ! 0;D 1 (y) 0;D 1

 

y

p2

e t =2 dt;

(x) = pD 1 Zx

 

S

n E

 

 

1

 

1

2

Если — произвольная с. в. со стандартным нормальным распределением, то

pn D 1

)

0;1

 

 

 

n

1

 

 

pn

) p

1

 

0;D 1

 

Sn n E 1

 

 

 

p

 

Sn

 

 

Sn

n E 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= N

;

n

 

 

 

E

=

 

 

 

 

D

 

 

= N

 

:

86

(
1; если A произошло в i м испытании;
0; если A не произошло в i м испытании;

Замечание 25. Еще раз напомним, что функция распределения стандартного нормального закона ищется либо по соответствующей таблице в справочнике, либо с помощью какого-либо программного обеспечения, но никак не путем нахождения первообразной.

Мы докажем ЦПТ и ЗБЧ в форме Хинчина несколькими главами позднее. Нам потребуется для этого познакомиться с мощным математическим инструментом, который в математике обычно называют «преобразованиями Фурье», а в теории вероятностей — «характеристическими функциями».

14.4Предельная теорема Муавра — Лапласа

Получим в качестве следствия из ЦПТ предельную теорему Муавра — Лапласа (P. S. Laplace, 1812; A. de Moivre, 1730). Подобно ЗБЧ Бернулли, предельная теорема Муавра – Лапласа — утверждение только для схемы Бернулли.

Теорема 33 (Предельная теорема Муавра — Лапласа).

Пусть A — событие, которое может произойти в любом из n независимых испытаний с одной и той же вероятностью p = P(A). Пусть n(A) — число осуще-

ствлений события A â n испытаниях. Тогда

n(A) np

) N0;1. Иначе говоря, для

 

 

 

 

 

x < y

 

 

n

 

 

np(1 p)

 

 

 

 

любых вещественных

 

ïðè

 

! 1 имеетp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

p2

e t

=2 dt;

P x 6 nnp(1 p) 6 y! ! 0;1(y) 0;1(x) = Z

 

(A) np

 

 

 

 

 

1

2

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

Доказательство. По-прежнему n(A) есть сумма независимых, одинаково распределенных с. в., имеющих распределение Бернулли с параметром, равным вероятности успеха p = P(A):

n(A) = 1 + + n; i = Ii(A) =

E 1 = P(A) = p; D 1 = P(A)(1 P(A)) = p(1 p):

Осталось воспользоваться ЦПТ.

14.5Примеры использования ЦПТ

Пример 50.

З а д а ч а из примера 48. Монета подбрасывается 10 000 раз. Оценить вероятность того, что частота выпадения герба отличается от вероятности более чем на одну сотую.

Р е ш е н и е. Требуется найти P

n

2

> 0;01 , ãäå n = 104, n =

 

i=1 i = Sn

 

 

n

1

 

P

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

число выпадений герба, а i — независимые с. в., имеющие одно и то же распределение

87

Бернулли с параметром 1/2. Домножим обе части неравенства под знаком вероятности

íà p

 

 

= 100 и поделим на корень из дисперсии p

 

 

 

 

= 1=2 одного слагаемого.

 

 

n

D 1

 

 

P nn

2

> 0;01 = 1 P

nn

 

2 6 0;01 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

Sn

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

Sn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E 1

6 0;01

 

 

 

 

 

 

= 1

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

E 1

 

6 2 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pD 1

 

pD 1

 

 

 

 

 

 

 

pD 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Согласно ЦПТ или предельной теореме

Муавра

— Лапласа, последовательность

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pD

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

pn D 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pn Sn

 

E

 

 

=

Sn n E 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

слабо сходится к стандартному нормальному распределению. Рассмотрим произвольную с. в. , имеющую распределение N0;1.

 

 

p

 

 

 

 

 

6 2

 

1 P

n

 

 

 

pD 1

 

nn E 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 P (j j 6 2) = 1 (1 2 0;1( 2)) = 2 0;1( 2) = 2 0:0228 = 0:0456:

Равенство P (j j 6 2) = 1 2 0;1( 2) следует из свойства 10.

Замечание 26. Центральной предельной теоремой пользуются для приближенного вычисления вероятностей, связанных с суммами большого числа независимых и одинаково распределенных величин. При этом распределение центрированной и нормированной суммы заменяют на стандартное нормальное распределение. Насколько велика ошибка при такой замене (погрешность приближения)?

Упражнение 28. Какие еще предельные теоремы для схемы Бернулли вы знаете? Что такое теорема Пуассона? Найти ее. Какова погрешность пуассоновского приближения? Вычислить ее. Объяснить, исходя из полученной величины, почему теорема Пуассона не применима в задаче из примера 50.

В примере 50 мы вычислили искомую вероятность тоже не точно, а приближенно — взгляните на равенство « » и спросите себя: насколько мы ошиблись? Стоит ли доверять ответу «0.0456»? Что, если разница между вероятностями в приближенном равенстве « » превосходит ответ на порядок? Следующий результат позволяет оценить погрешность приближения в ЦПТ.

Теорема 34 (Неравенство Берри – Эссеена)´

.

 

 

 

 

 

 

 

 

В условиях ЦПТ для любого x 2 R (то есть равномерно по x)

 

 

 

 

P

Sn n E 1

< x

 

 

 

 

(x)

 

6

C

E j 1

E 1j3

:

 

 

 

 

0;1

pn

 

 

 

pn D 1

 

 

 

 

pD 1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание 27.

Про постоянную C известно, что:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) в общем случае C не превышает 0:7655 (И. С. Шиганов),

 

 

 

 

 

б) погрешность приближения наиболее велика, если слагаемые i имеют распределение

 

p

 

+ 3

 

Бернулли, и C в этом случае не меньше, чем

10

0:4097 (C. G. Esseen, Б. А. Рогозин),

 

p

 

 

6

 

 

2

 

в) как показывают расчеты, можно смело брать в качестве C число 0:4 — даже для

88

слагаемых с распределением Бернулли, особенно при малых n, когда и это значение постоянной оказывается слишком грубой оценкой.

Подробный обзор можно найти в монографии В. М. Золотарева «Современная теория суммиро-

вания независимых случайных величин», стр. 264–291.

Продолжение примера 50. Проверьте, что для с. в. 1 с распределением Бернулли

E j 1 E 1j3 = j0 pj3 P( 1 = 0) + j1 pj3 P( 1 = 1) = p3q + q3p = pq(p2 + q2):

Поэтому разница между левой и правой частями приближенного равенства « » в примере 50 ïðè n = 104 и p = q = 1=2 не превышает величины

 

 

pq(p2

+ q2)

 

 

 

 

 

p2

+ q2

6 0:4

 

1

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= C

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

= 0:004;

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pn ppq

1

 

 

nppq

 

 

100

так что искомая вероятность P nn

2

 

> 0;01

не больше, чем 0:0456 + 0:004. Уместно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сравнить этот ответ с оценкой, полученной

с помощью ЗБЧ в примере 48.

Следующая проблема связана с распространеннейшим на ЭФ и ММФ НГУ заблуждением, которое можно образно передать афоризмом:

P

nn

< E 1 n!!1 P (E 1

< E 1) = 0; íî P

nn

6 E 1 n!!1 P (E 1 6 E 1) = 1:

 

 

S

 

 

 

S

 

Пример 51.

З а д а ч а. Пусть 1; 2; : : : — независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией, Sn = 1 + + n — сумма первых n случайных величин. При каких c имеет или не имеет место сходимость

PSnn < c ! P (E 1 < c) ?

Ре ш е н и е. Согласно ЗБЧ, последовательность Snn сходится по вероятности (а,

следовательно, и слабо) ê E 1.

Слабая сходимость означает, что последовательность функций распределения Fn(c) =

P

Sn

< c

сходится к функции распределения F (c) = P (E 1 < c), если F (x) непрерывна в

n

 

 

 

точке c (и ничего не означает, если F (x) разрывна в точке c). Но

 

 

 

F (c) = P (E 1 < c) = (0; c 6 E 1;

 

 

 

1; c > E 1

есть функция распределения вырожденного закона и непрерывна в любой точке c, кроме

c = E 1. Итак, первый вывод: сходимость P

Sn

< c

! P (E 1 < c) имеет место для любого

n

c, кроме, возможно, c = E 1. Убедимся, что для c = E 1 такой сходимости быть не может.

89